스튜어트 보고있습니다
중고딩 적분때야 뭐 그런갑다 하고 풀었는데
이제 제대로 하고 넘어가고 싶은데요
라이프니츠 표기법 du/dx 는 분수가 아닌데
du/dx = 2x 에서
어떻게 해서 du = 2x * dx 가 되는지 제대로 이해하고 싶습니다
일단 지금까지 읽어 온거는 제일 쉬운 이해는 이거인데, 여기서 (delta x)^2 날려버리는게 이해가 안되고
Gpt로 엄밀하게 설명해달라하면 스튜어트 범위를 넘어가서 이해를 못하겠습니다
스튜어트에서도 그냥 그런갑다하고 넘어가야하는지 아니면 제가 이해할 수 있는지 궁금합니다
그냥 2x=du/dx를 적분식에 대입한 다음에 치환적분 썼다고 생각해
du=2xdx같은 표현은 그냥 편하려고 쓰는 간이 표기법임
그거도 결국 du/dx 를 그냥 분수로 보는거라고 생각해서 , 그런갑다하고 넘어가는 것 같습니다
치환적분을 쓰는게 du/dx를 분수로 보는 것과 무슨 상관임? 합성함수 미분법을 거꾸로 하는 것일 뿐인데
지금 substitution rule을 제대로 이해하려고 하는데 substitution 룰을 쓰라하는건 뭔지 모르겠습니다
그래 chain rule은 배웠니
옙 배웠죠
그레 적분은 미분을 거꾸로 하는 거잖니 그러니까 chain rule에서 나오는 도함수 × 도함수 꼴을 적분하면 원래 합성함수를 적분한 게 되어야겠지? 이게 치환적분임
그러니까 실제로 치환적분 자체는 chain rule과 미적분학의 기본정리 두 개에서 나올 뿐이고, 이걸 결과만 놓고 보면 마치 도함수를 약분하는 것처럼 생겼기 때문에 du=2xdx같은 간이 표현이 형식상으로는 말이 되는거임. 왜냐면 애초에 chain rule부터도 마치 분수 약분하듯 생겼으니까 (실제 증명은 좀 더 복잡하지만)
아무튼 댓글은 많이 달렸는데 의문은 해소 안됐습니다
그래 나도 그렇게만 말하면 뭐가 이해가 안 된다는건지 모르겠구나
음 설명이 책이랑 똑같네여, 체인룰써서 합성함수 미분해놓은거 적분한거랑 변수 치환 해놓은 함수 적분한거 결과 같음, 아무튼 2x*dx = du 임 이게 substitution rule 임 이러는건데 이러면 고딩때랑 다를게 없네염
https://pomp.tistory.com/941
와 제가 딱 원했던거네요 감사합니다
du/dx=2x라고 할때, substitution rule에 의해 ∫ f(x^2+1)du/dx dx = ∫ f(x^2+1) du이고 여기서 바뀌는건 뒷부분만 있으니까, 간단하게 du/dx dx = du만 확인하면 그만
https://m.dcinside.com/board/hanmath/10276819
이거
읽어봐라
일단 님이 미분형식(differential form) 이라는걸 제대로 정의하기 전에는 dy=xdx 이런식으로 쓰는건 절대 정당화될 수 없음. 그냥 윗댓글에서 말한대로 chain rule 을 따르면 "약분하는 것 처럼 보이기 때문에" 그렇게 쓰는 것 뿐임. 결국은 집단적인 "기호의 남용" 이다. 라고밖에 설명할 수 없음. 따라서 님은 이해를 못한것도, 아니고, 짚고 넘어갈것도 없는거임. 하지만 여전히 어느정도 "심정적인 이해" 는 가야함.
예를들어 ∫(x²)d(x²) 라는 말도안되는 식이 있다고 치자. 왜 말도안되느냐? d(x²) 가 뭔데 ㅅㅂ... 그딴거 정의한적도 없잖아. 하지만 x²=u 라고 치환해두면 ∫udu = 0.5 u² = 0.5(x²)²=0.5x⁴ 이어야 할 것 같고, 실제로 d(x²)=2xdx 라는, 우리가 평소에 사용하는 그 '기호의 남용' 을 해보면 ∫(x²)d(x²)= ∫(x²)2xdx = 2∫x³dx = 2/4 x⁴ + c 니까 뭔가 짜증나게도 들어맞긴 함.
결국 우리는 다음과 같은 추측을 해볼 수 있음. d(f(x)) = f'(x) dx 라는, 말도안되는 공식이 어쩌면 무슨 의미를 가질지도 모른다. 라고. 그리고 실제로 이것은 의미가 있음. 여기까지가 대충 말해줄 수 있는 내용이고, 좀더 구체적인 정의를 원한다면 위 댓글에 티스토리 링크를 보면됨.