[중고딩문제] 이거 왜 성립안되는건가요?

[익명(61.82)]

계산하면 1/3인거 아는데 저런식으로 하면 0이 나옵니다. 

걍 왜케 요즘 따라 이런 븅신같은 생각이 나는지 모르겠음 ㅠㅠ

[수갤러 1(211.179)]

1^2+2^2+…+n^2을 묶으면 (n)(n+1)(2n+1)이고 여기서 극한취하면 1/3

[수갤러 1(211.179)]

(n)(n+1)(2n+1)/6임

[익명(61.82)]

그런건 당연히 아는데 왜 극한을 먼저하면 안됨? 각항이 0으로 수렴하면 분배하고 더해도 되자나

[익명(118.33)]

lim (an + bn) = lim an + lim bn 성립하는건 알고있잖아? an,bn 이 각각수렴할때 성립하고 이걸 반복적으로 사용하면 lim 안의 유한개의 항에 대해서도 자연스럽게 성립함을 알수 있음. 그런데 항이 무한할때도 되나? 그건 증명 안해봤잖아 그치? 그리고 실제로 확인해보니 분배법칙하면 0인데 실제 극한은 1/3 이네? 다시말해 넌 지금 무한개의 수열에 대한 분배법칙이 성립하지 않음을 증명하는 반례를 찾은거네.

[익명(61.82)]

아..무한개의 수열에선 분배법칙이 성립하지 않나요? 증명 어떻게 하나요

[익명(118.33)]

'무한개' 라고 말하니까 웃기긴한데 암튼 분배를 해주려면 각각의 항에대해서뿐만 아니라 항의개수에 대해서도 lim 을 고려해줘야지. 항의개수도 n개로 점점 늘어나니깐

[익명(118.33)]

증명은 네가 지금 했잖아. 네가 든게 정확히 그 반례잖음

[익명(61.82)]

@ㅇㅇ(118.33) 그냥 내가 계산한건 만들어진 정적분 계산법에 의해 기계적으로 한거고, 그걸 몰랐을때는 저게 0이 아님을 어떻게 안거지?

[익명(118.33)]

@글쓴 수갤러(61.82) 0일거라는 추측자체가 잘못된 공식적용(무한개 수열에 대한 분배법칙 사용) 에 의한거잖슴 그거로 부족함?

[익명(118.33)]

@글쓴 수갤러(61.82) 아니면 앞으론 저렇게 "..." 이 포함된 식은 항상 시그마로 고쳐써보셈 그럼 시그마의 윗끝에 있는 n에도 lim 을 분배해줘야한다는 생각이 들테니 지금 문제가되는 분배법칙이 덜 그럴듯해보이겠지

[익명(61.82)]

@ㅇㅇ(118.33) 무한개 수열에서 분배법칙 쓰지말라는건 검색해도 안나오는데

[익명(61.82)]

@ㅇㅇ(118.33) 그리고 분자 n에 lim분배해 봐야 분모도 n이있기때매 그방법은 소용이없음

[수갤러 2(220.79)]

@글쓴 수갤러(61.82) 분배법칙은 유한개에 대해서만 안전하게 성립되는건데, 너가 멋대로 무한대에 가져다 쓴거라니까

[수갤러 2(220.79)]

무한개에서는 될수도있고 안될수도 있는데 너가 찾은게 안되는 케이스인거라고. 안되는 케이스가 있으니까 분배법칙이 성립하지 않는다는거고. 법칙이라고 부르려면 항상 성립해야할거 아니야

[익명(118.33)]

@글쓴 수갤러(61.82) 먼소리야 lim(n to inf) Σ(k=1 to n) (k/n)²(1/n) 이렇게 써놓으면 기계처럼 (k/n)²(1/n)에만 리미트 쓰다가도 시그마에 붙은 (k=1 to n)에서 n 보고 멈칫하게 될거라고

[익명(61.82)]

@ㅇㅇ(118.33) ㄱㅅㄱㅅ 이해했다

[익명(118.33)]

@글쓴 수갤러(61.82) 굿

[익명(boat9591)]

n이 커질수록 항이 늘어나니까 그런식으로 분배할수가 없지

[익명(61.82)]

지금 갑자기 드는 생각인데 무한소를 무한대 갯수만큼 더하면 0이 아니니까 1/3이라는 값이 나올수있구나

[수갤러 2(220.79)]

그렇게 받아들이셈 ㅇㅇ

[익명(oen0c)]

극한 사칙연산은 유한번일때 얘기지 무한번일때는 어떻게되는지 얘기한적이없음

[Cambridge(cinema6364)]

이게 무한합에서 발생하는 역설이랑 궤를 같이 하는데요. 직각삼각형의 가로세로의 중심과 빗변의 중심을 지그재그로 연결하면 네 변의 합은 가로세로와 같죠. 지그재그로 연결한 도형의 중점을 다시 지그재그로 연결해도 합이 가로세로의 합과 같고요 이걸 무한히 반복하면 빗변에 수렴하게 되는데 빗변=가로+세로라는 말도 안되는 결과가 나오죠 무한에서는 우리의 직관이 깨지는 거죠 - dc App

[연쵸(solstice4649)]

너가 쓴 0+...+0도 0이 아닐 수 있는데 - dc App

[Cambridge(cinema6364)]

애초에 0으로 끝나지도 않음 ㅋㅋㅋ 0.9땡에서 9를 아무리 써도 1이 안됨 ㅠㅠ - dc App

[극한의권마태수(snail2149)]

0을 무한번더하면0인가?

[수갤러 3(219.250)]

그냥 존나 작은 수를 무한 번 더하면 0이 아닐 수 있다거 받아들이셈