안녕하세요 형님들 fulton의 algebraic curves읽고있는데요
챕터 8에서 고생중입니다
근데 근본적으로 뭘하고있는지 이해가 힘드네요
Divisor에 관한건데요.
정의로부터 Divisor는 point들의 finite sum이래요. 뭔가 algebraic cycle이랑 비슷한거구나 하고 이해하는데 결국에 Divisor를 왜 정의하나요? 이걸로 뭐 할 수 있나요?
=> Riemann\'s theorem, Riemann-Roch theorem으로 genus를 구하고 벡터공간 L(D)의 차원을 구할 수 있다.
근데 벡터 공간 L(D)가 의미하는 바가 뭐고 그 차원을 왜 구하고싶은지... 또 정의한 genus가 무슨 기하학적 의미를 갖는지 모르겠어요. 그래서 genus, riemann roch thm이 뭔소리을 하는고? 해서 구글링해봤더니 genus는 manifold늬 구멍의 개수라고 하고, RRT는 riemannian surface에서의 내용으로 나와서 대수기하학과의 접점을 못찾겠어요..
조금만 설명해주실 수 있을까요?
질문이 조금 이상하게 구성된거같은데 양해 부탁드립니다. 감사합니다.
챕터 8에서 고생중입니다
근데 근본적으로 뭘하고있는지 이해가 힘드네요
Divisor에 관한건데요.
정의로부터 Divisor는 point들의 finite sum이래요. 뭔가 algebraic cycle이랑 비슷한거구나 하고 이해하는데 결국에 Divisor를 왜 정의하나요? 이걸로 뭐 할 수 있나요?
=> Riemann\'s theorem, Riemann-Roch theorem으로 genus를 구하고 벡터공간 L(D)의 차원을 구할 수 있다.
근데 벡터 공간 L(D)가 의미하는 바가 뭐고 그 차원을 왜 구하고싶은지... 또 정의한 genus가 무슨 기하학적 의미를 갖는지 모르겠어요. 그래서 genus, riemann roch thm이 뭔소리을 하는고? 해서 구글링해봤더니 genus는 manifold늬 구멍의 개수라고 하고, RRT는 riemannian surface에서의 내용으로 나와서 대수기하학과의 접점을 못찾겠어요..
조금만 설명해주실 수 있을까요?
질문이 조금 이상하게 구성된거같은데 양해 부탁드립니다. 감사합니다.
복소수체에서 대수곡선을 생각하면 실수차원으로 2차원 곡면이 됨. 즉 Riemann Surface가 대수기하학에서는 Algebraic Curve인 거임. 대수기하적으로 Curve의 Genus는 니가 쓴 notation으로 L(K)의 차원으로 정의하는데, 사실 이게 곡면으로 봐서 구멍의 개수 센거하고 같은 숫자가 됨.
감사합니다 형님. 질문 하나만 더 해도 될까요? 이건 진짜 바보같은 질문인데, fulton책 안에서 계속 한 다항식의 한 점에서의 정보를 알아내고싶을때 p의 local ring에서의 order를 이용하던데, 정확하게 그 order가 뭘 의미하는지 잘 모르겠습니다. 혹시 그것도 설명해주실 수 있나요? 답변 정말 감사합니다. 위키피디아에서 rrt문서를 다시 읽어봤는데요, for the computation of the dimension of the space of meromorphic functions with prescribed zeroes and allowed poles. 라고 하는데. divisor가 여기서 allowed poles와 관계가 있나요? (복소해석학을 안들어서 잘 모르겠습니다..) 또
대수기하학에서 다루는 rrt는 divisor D = sum(n_pP) 에 대해 vector space L(D) ={ f rational function | ord_p(f) >= -np} 인 vector space로 정의하고 그 차원을 구했는데, 복소수체를 생각했을때 대충 이 vector space L(D) 가 어떤 조건을 만족하는 meromorphic function들의 vector space 이라는 이야기인거같은데... ord_p(f) >= -np 인 조건이 뭘 의미하는지 아직도 모르겠어요.. 그래도 형님덕에 조금 감을 잡는거같습니다.. 정말 감사합니다..
Order는 복소에서의 의미랑 비슷함. 어떤 function이 점 p를 해로 가지는데 그 해가 simple이면 order가 1이고 double이면 order가 2고 그렇겠지. 이걸 구할 때 p에서의 local ring에서 함수의 image의 order를 살펴보는거임. 곡선에서 local ring이 DVR이니 뭐니 하는건 알아서 찾아보고
정말 도움 많이 됐습니다. 감사합니다!
Divisor를 finite sum이라고 했지만 사실 계수가 음수가 될 수도 있음. 각각 zero와 pole을 나타내겠지. Ord_p(f)>=-n_p 라는 건 함수 f가 p에서 pole을 가져봤자 n_p짜리까지밖에 안 갖는다는 뜻임. n_p가 음수이면, 예를 들어 n_p=-1이면 이 조건은 f가 p에서 simple zero를 갖는 다는 뜻이 됨.
Simple zero를 갖는게 아니고 최소한 simple zero는 갖는다는 뜻이구나 수정함
독일은 진짜 대단하네
왜?
일반적으로 대수다양체의 divisor는 그 다양체 위의 line bundle과 대응이 됨. 정확히 말하면 divisor들의 linear equivalence class하고 line bundle이 대응됨. 일반적으로 모든 line bundle이 divisor를 주지는 않지만 compact smooth curve의 경우는 일대일 대응이 됨.
위에 대충 설명이 되어있네요. L(D), 즉 최대 D만큼의 pole을 허용하는 rational function들의 벡터공간은 요컨대 (대수)기하적인 대상이라 할 수 있는데, 이 공간에 대한 정보 (차원)를 위상수학적 불변량인 genus와 산술적인 degree로부터 얻어낼 수 있다는 것이 RR의 한 가지 의의라고 할 수 있겠네요.
Riemann surface를 처음 접할때 대수적인 서술이 잘 와닿지 않으면 복소해석적인 서술로 번역해서 보는 것도 도움이 됩니다. 이를테면 regular function을 holomorphic으로, rational function을 meromorphic으로...
점 p에서의 local ring과 order (valuation) 대신에 p 근처의 analytic nbd에서 Laurent series와 그 최소차항의 차수로 대응시키는 등... 좀 더 친숙한 표현들로 대응시키다보면 머릿속에서 정리가 잘 될지도 모릅니다