[대학교이상] Topological manifold는 왜 이름이 이럴까요

[Illdefi..(designer2119)]

위상이라는 이름을 쓰기에는 조건이 좀 강한거 아닌감

몹시 궁금

[수갤러 1(99.91)]

그래도 기하라고 불릴 요소를 거의 빼버리고 위상만 남았으니까

[Oo(175.208)]

"거리 metric"이 없으니까

[리카(lillollool)]

metric없음(사실 있음) ㅋㅋㅋㅋ

[익명(rmflvltm910)]

조건이 local하게 Euclidean space와 homeomorphic하단거, Hausdorffness, 2nd countable 모두 순수히 topological한 조건이니까 여기에 이제 smooth structure를 주면 smooth mfd, complex str를 주면 complex mfd, symplectic str를 주면 symplectic mfd, Riemannian metric을 주면 Riemannian mfd, piecewise-linear str를 주면 PL mfd가 되는거고

[Illdefined(designer2119)]

아 하

[ㅆㅅ(siiot)]

manifold라고 부를려면 최소한 그 "강한" 조건들이 있어야 하기 때문임

[리카(lillollool)]

추측인데 위상적 얘기를 전개하기 편한 조건이라서 그런거아닐까싶긴함. 대표적으로 partition of unity 가지고 국소적얘기를 대역적으로 확장하려면 T2랑 2nd countable(componentwise만 돼도 되긴한데)이 필수다보니 이거없으면 뭐 위상하면서도 꽤 불편하지않을까 하고 생각함뇨. (미분다양체만 봐서 진짜 위상할때도 미분때만큼 불편한지는 모르고 걍 추측임)

[리카(lillollool)]

T2,2nd-countable 빼놓은 셋팅도 수학자들이 아예 거들떠도 안본건 아니더라고요. 스피박부록에 locally ED.만 가정한것부터 T2는 넣어준상태에서 추가로 넣을만한 조건들 사이 동치성 머그런얘기 해주던. 다 읽진 않아서 자세힌모르고 굳이 manifold(T2 locally ED.)랑 topological manifold(2nd countable추가)를 구분해놓은 이유가있기는한갑다.. 생각만하고있는 정도임 저는

[리카(lillollool)]

결국 locally ED. 를 생각하는게 일단 국소적으로라도 친숙한 공간에서 생각해보고 그 편한 일부분으로부터 (비교적 쉽게)얻은 실마리를 전역적으로 이어가는걸 시도해보자 라는 취지라고보는데 정작 국소적으로 봐서 편하게 얻은 조각들을 전역적인 결과물로 붙일수가 없으면 그이전의 노력들이 의미가없자늠? 그래서 현대적인 셋팅에서는 그걸위한조건까지 가정해주는것같음