위상공간 X,Y와 함수 f:X->Y에 대해서
X의 부분집합 S에 대해 ‘f의 S에서의 연속성’에 대한 표준적인 정의가 있음?
이걸 왜 물어보냐면 다음 두 성질
1) 각 x \in S에서 f가 연속인 것 (위상은 당연히 X에 대한것을 사용)
2) f의 정의역을 S로 제한한 새로운 함수 f|_S에 대해 S에 relative topology를 줬을때의 연속성
이 동치가 아니기 때문임… 그래서 위 둘중 표준적인 정의가 있는지, 아니면 위 둘이 다르므로 추가적인 맥락 없이는 정의 자체가 모호한게 맞는지가 궁금함.
여담으로 S에서의 미분가능성은 X에서의 근방을 보는 것으로 정의되어 있어 이런 모호함이 없는 것으로 이해하고 있음. 교과서마다 다를수도 있지만
보통 (2)로 쓰늗 경우가 많음. f is continuous on S -> 대부분 (2)를 의미. (1)의 경우는 서술할 때 f is continuous at each point of S처럼 서술하고.
subspace 토폴로지를 생각할때 난 restriction 표시를 꼭 하긴 함
2번이 맞지않나 - dc App
생각보다 책읽을때 모호함을 느낄일은 없음. 헷갈릴만한건 댓글들처럼 자세히 다 적어줌 에초에 continuous on A 같은 표현을 쓸일이 위상보단 해석학 할때 주로 생기는거라
보통 위상할땐 전공간에서 연속인 애들에 관한 얘기가 더 많다보니(가방끈이짧아 오해일수있음 내가공부할땐 적어도 그렇게 느꼈을뿐) f|_S가 연속 이런식으로 얘기를 하게 됨
표준은 아니긴한데 나는 필기할때 모호할가능성있는부분엔 전자면 conti. on S⊆(부분집합 기호 아래에 subset)X , 후자면 conti. on S⊆(부분집합 기호 아래에 subsp.)X 이렇게 적는편
딴길로샜는데, conti. on S라 할때 전자는보통 해석학, 후자는보통 위상이긴한데 위상에선 저 표현보단 f|_S의 연속성으로 얘기하는경우가 더 많았어서 책을 읽을땐 나도모르게 모호함을 안느끼게되는 그런너낌.
2번이라 단정하긴 애매한게 S가 one-pt set이면 무조건 연속이란거라 S가 open이면 둘이 동치라 문제가 없는데 아닌 경우에는 표준적인 정의는 없고 S의 형태에 따라 알아서 판단해야 하는듯 interval이라던가