[일반] 질문 (유한집합)

[기괴공학도(mecheng98)]

임의의 집합 X가 주어졌을 때,

X가 Tarski 무한 집합의 정의를 만족하지 못하거나

X가 Dedekind 무한 집합의 정의를 만족하지 못하면,

임의의 함수 f : X → X에 대하여 f가 전사이면 f가 단사임을 어떻게 보일까요?

선택공리 써서 증명했는데 안 쓰고도 증명할 수 있나요?

- dc official App

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

https://math.stackexchange.com/questions/878073/proof-of-x-is-finite-iff-x-is-tarski-finite
? 근데 나도 첨보는 정의들이라

[기괴공학도(mecheng98)]

답변 감사합니다. 그런데 f가 전사이면 f가 단사임을 어떻게 보이나요?? - dc App

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

It can be proved that Dedekind-finite and Tarski-finite are equivalent in ZFC. In ZFyou cannot disprove that, because that would imply that you can prove the negation of the axiom of choice

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

https://math.stackexchange.com/questions/688708/example-of-a-set-that-is-dedekind-finite-but-not-tarski-finite

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

이 둘을 쓰면 되긴할텐데 AC와 엮이지 않으면서 니가 말하는걸 증명하는법은 모르겠음(애초에 첨보는 개념들이라) 일단 반례는 존재할 수 없음(논리상 AC를 ZF에서 부정하게 되버림)

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

그래도 처음단 댓글쓰면 dedekind-finite일때 니가 말하는 성질을 만족한다만 증명하면 되는듯(ZF에서 증명되는듯함)

[기괴공학도(mecheng98)]

네, 감사합니다. 그런데 데데킨트 유한집합에서 자기 자신으로 가는 전사함수는 항상 단사함수임을 ZF에서 증명하려고 어젯밤부터 생각해봤는데 모르겠어요. 선택공리 쓰면 바로 되는데요. - dc App

[기괴공학도(mecheng98)]

책에서 선택공리 응용 나오고 바로 다음에 나온 문제인데 선택공리 가정해도 되겠죠? - dc App

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

선택공리 나왔으면 뭐...

[기괴공학도(mecheng98)]

감사합니다. 시간만 뺏어서 죄송해요. - dc App