고등학교에서 배운 내용바탕으로 질문 하나 하겠습니다
알려주시면 고맙게 배우겠습니다.
배운 내용1
f(x)가 x=a에서 연속이다.
Def.
함수 f(x) 가 x=a에서 정의된다.
극한 limx→a f(x)가 존재한다.
limx→a f(x)=f(a)
극한 limx→a f(x)가 존재한다.
limx→a f(x)=f(a)
배운 내용2
[a,b]={x∣a≤x≤b}
배운 내용3
주어진 구간에서 f(x)가 연속이다.
<->주어진 구간 내에 속하는 임의의 실수 x에 대하여 f(x)가 연속이다.
질문.
학교에서 배운 내용대로라면,
[a,b]가 정의역인 함수가 [a,b]에서 연속일 수 는 없다고 생각합니다.
왜냐면 x=a에서의 좌극한이 정의되지 않기 때문에, 배운내용1에 어긋나기 때문입니다.
교과서 연습문제에서는 y=루트(x)가 [0, oo)에서 연속이다. 라고 기술하고 있는데, 이 역시 x=0에서 좌극한이 정의되지 않기에 연속인 구간은 (0,oo)인 것 같습니다.
교과서 속 내용이 서로 모순된다는 생각이 드는데 이에 대해 알려주실 분 있으실까요
대학에서 더 자세히 배우겠지만 어떤 열린구간에서 연속일때, 왼쪽 끝에서 우극한이 함숫값(존재한다고 하면)과 같으면 구간 왼쪽끝에서도 연속임.
그 이유가 궁금한 것이와요
닫힌구간 [a,b]에서 f가 연속이라는말은 f가 (a,b)에서 연속이고 f(a+)=f(a), f(b-)=f(b)를 만족한다는뜻임 왜이렇게정의됐는지는 잘모르겠지만 저 조건을 만족하면 f를 항상 실수전체에서 연속이되게 확장할수있음 - dc App
교과서에 구간의 닫힌 경계쪽에서의 연속성은 정의가 따로 적혀 있음
예외로 한다 이렇게는 안적혀 있고 배운내용3에 추가로 특히, 닫힌구간은 어쩌고~~이렇게 적혀있어요. 그냥 예외로 샹각하겠습니다. 고맙습니다
왜그렇게정의하냐? 정의역 내의 각 a마다, x가 a에 매우 가까우면 f(x)가 f(a)에 매우 가깝다 가 성립하는걸(엄밀한 표현은 아님. 고교수준에서는 극한 이용한 표현으로 이해하는게 적당함) 연속함수라 부르고싶은데 정의역에서 a에 가까울 방향이 하나밖에 없는 특수한 경우엔 한쪽 극한만을 얘기하는게 오히려 당연하지않나 싶은
그럼 교과서에서는 왜 에초부터 구간 종류마다 상세히 분류해서 정의를 적어두지않고 마치 특수사항처럼 뒤에 적어주냐? 인건데 교과서는 강의록이라 그럼. 그 부분에대해 교사가 알아서 학생들의 궁금증을 채워주라는 의도로 대충 적어둔거임
서술의 매끄러움 때문일수도있고 뭐 여튼 여러 편의를 위한거. 근데 미래엔 기준 그냥 납득할만하게 잘 적혀 있는데??
위상수학의 subspace topology 공부해야 위 댓글들 이해할 수 있음. 쉽게 이야기하면 [a,b]에서의 근방이라는걸 R에서의 근방과 [a,b]의 교집합으로 본다는건데, 궁금하면 찾아보셈
실수에서만 정의된 함수 f(x) = x는 x = 0에서 연속이 아니다. 왜냐하면 모든 0이 아닌 실수 r에 대해서 허수 ri에서는 f(x)가 정의가 안 되었으니 허수 방향으로 극한이 없기 때문이다