두 문제 모두 "~을 때"라는 발문이 있는데,
첫 번째 문제는 조건부확률이고,
두 번째 문제는 조건부확률이 아닙니다.
이것을 어떻게 구분해야 하나요?
제 나름의 생각은 이렇습니다.
조건부확률=표본공간의 축소
표본공간 = 시행결과의 집합
첫 번째 문제의 표본공간은 {A가 이김, B가 이김, C가 이김}인데,
발문에 의해 {A가 이김}으로 축소되었음
두 번째 문제의 표본공간은 {A가 상금, B가 상금}인데, 발문이 표본공간을 축소하지는 않음(B가 최종 승자임을 제한하지 않음)
제가 생각한 바가 맞을까요?
- dc official App
둘 다 조건부확률 상황임. 근데 두번째 문제를 조건부확률 정의를 이용해서 풀려고 시도하면, 표본공간을 {AAAAA, BAAAAA, ...} 같이 길이가 가변적인 문자열의 집합으로 둬야하는데 각 경우의 발생 빈도가 균등하지 않다(비균일분포)는 문제가 발생함. C를 A가 이기는 사건, D를 첫 다섯 경기에서 A가 3번, B가 2번 이기는 사건이라 하면 구하는 확률은 P(C|D) = P(C∩D)/P(D)인데 P(C∩D)와 P(D)를 구하는 게 쉽지 않음. 따라서 여러모로 귀찮아지고 애초에 고등학교 과정에서는 이런 경우는 다루지 않는 걸로 알고 있음
후자는 주어진 조건하에 A가 상금을 탈 찐 확률 q가 첫 5번의 게임에서 A가 3번, B가 2번 이겼을 확률 p의 몇배인지만 구하면 되는상황임. 이미 윗글에서 문제를 풀어 봤다고 하니까 대충 말하면, q가 계산되는 과정을 잘 생각해보면 q=p×r의 형태일수밖에없다는걸 알수있을거임.(r은 대충 확률 곱 뭉탱이들) 그럼 r부분만 계산해서 문제를 풀수있는데 본인이 이 r을 계산하면서 이거 그냥 찐 확률(조건부아닌거)구한거 아니야? 로 착각한듯. 독립시행이라 찐확률 계산하는거랑 시행별 확률 곱셈횟수 줄어든거말곤 차이가 없으니
그럼 제 생각(표본공간이 축소되지 않았다는 것)은 틀린 건가요? - dc App
표본공간 축소 일어났고 어디에 반영됐냐면, 문제를 풀때 첫 5번의 시행에서 A가3번,B가2번 이겼을 확률을 분명 본인이 답을 구하는 계산에서 앞부분 곱셈에 붙인적이 없었을거임. 그거 자체가 이미 무의식적으로 문제에 맞게 표본공간을 줄여서 본거임.
표본공간 자체를 잘못 생각하고있는것 같은데, 님이 본문에서 적은건 표본공간이 아님. 예를들면 첫번째문제에서 A가이김,B가이김,C가이김<<<<얘네는 굳이 따지자면 사건(표본공간의 부분집합)들임 원소가아니라. 두번째문제도 마찬가지
표본공간은 나타날수있는 각각의 결과들을 모두 모아둔(원소로 갖는) 집합이니까 몇번째 게임에선 누가 이겨서 걔가 결국 상금을 탔냐가 다 적혀있는 일종의 기록표, 두번째 문제에선 AAAAA,AAAABA,... 이런것들을 다 모아놓은게 표본 공간임. 그런데이제 이러면 각 근원사건들이 일어날 확률이 균등하지 않으니까 확률을 표본공간의 원소 개수 분의 사건의 원소 개수로 구할수 없게되는데, 이런 비균일 상황의 몇몇 특수한 경우를 처리할수 있게하기위해 독립시행의 확률 단원을 배우는거임.
두번째문제는 r=q/p 로 이항후 p를 다시 두 배반사건 확률의 합으로 분해하는 과정을 안거치고도 r을 계산할수있는 문제였을뿐인거고, 첫번째 문제는 그렇게 안되는문제인거고. 두 문제가 뭐가 다르냐만 보면 되는데, 축소된 표본공간에 해당하는 사건(집합임)의 조건제시법 표현의 조건 부분을 봤을때 두번째 문제는 첫 5회 시행 결과(이후 시행들과 당연히 독립일)에만 조건을 걸었는데반해, 첫번째 문제는 최종 결과에 조건을 걸어서 이 조건이 각 시행들에 비독립적으로 영향을 끼쳤다는점이 다름. 그래서 첫댓에서 쓴 독립성 이용해서 r만 구하는 풀이를 못쓰고 조건부확률 정의로 계산해야만했던거.
@리카(7세) 그 조건이 단순이 과거를 고정할 뿐이냐, 아니면 미래 사건을 제한하느냐를 보아야 하는 것이군요. 그렇다면 과거를 고정할 뿐인 조건이라서 r만 계산하면 되는 것은 독립시행이 아니어도 적용되겠네요? - dc App
쓰고보니 본문과 어느정도 매치되는점이 있긴 하네요. 본문 얘기도 결국 표본공간 용어만 조금 남용했을뿐 결국 결과를 제한했냐, 과정중 (이후에 영향을 안끼칠) 앞부분만 제한했냐 로 차이점을 짚은거니까. 대댓글 답변은 ㅈㅁ요
과거를 고정할뿐인 조건이라서<<<<가 아니라 과거(미래에 영향을 주지않음)를 고정할뿐인 조건이라서 임. 독립시행 가정이 없으면 고정된 과거가 어떤 방식으로 뒤에 영향을 끼칠지, 즉 조건부확률을 알아야 r만 계산하는게 가능한데 이게 사실상 r을 알아야 r을 안다 랑 같은소리라
@리카(7세) 감사합니다(글쓴이입니다)!! 정말 많은 도움과 공부가 되었습니다 남은 건 제가 직접 비슷한 문제들을 풀면서 체득해야겠습니다 건강하세요!! - dc App
간혹 문제에서 이전 결과들에 다음 시행이 어떻게 의존하는지(시행별 n번째 조건부확률)가 말이나 그림으로 명확하게 주어진 경우가 있는데, 이때는 과거가 결정되었을때 r만 계산한다 라는게 가능하긴하죠. 아마 이런 문제들을 생각하고 얘기한것같음
@수갤러1(118.235) 제가 착각한듯. 독립시행 아닐때 적용 되는거는 맞는데 사실상 r을알면 r을안다고 하는거라 의미없다 뉘앙스로 얘기했는데, 문제가 구체적으로 안떠올라서 그랬음. 옛날에 풀었던문제들 다시생각해보니 대충 님 말이 맞음.