CAT 1을 빼면 문제가 생김?
Jech 집합론에서는 두 함수의 정의역이랑 각 정의역에 대응하는 원소만 같으면 같은 함수라 보는 거 같고 나도 그냥 이렇게 보고 싶은데, CAT 1을 넣으려면 함수가 공역에 대한 정보도 갖고 있다고 봐야 할 것 같네. CAT 1을 빼면 안 됨?
짤은 랭 대수 책
CAT 1을 빼면 문제가 생김?
Jech 집합론에서는 두 함수의 정의역이랑 각 정의역에 대응하는 원소만 같으면 같은 함수라 보는 거 같고 나도 그냥 이렇게 보고 싶은데, CAT 1을 넣으려면 함수가 공역에 대한 정보도 갖고 있다고 봐야 할 것 같네. CAT 1을 빼면 안 됨?
짤은 랭 대수 책
Mor 의 원소는 함수가 아님.
가장 쉽게 생각할 수 있는 형태가 함수지만, 함수가 아닌 다른 형태의 Morphism을 갖는 Category 도 얼마든지 정의할 수 있음.
그리고 Morphism이 주어졌을 때 거기서 A 와 B를 알아낼 수 있어야 되기 때문에 disjoint해야 함.
왜 알아낼 수 있어야 함?
Mor의 원소가 함수가 아닌 경우가 있다 해도, Set, Grp, Ring 같은 카테고리에서는 함수 자체가 Mor의 원소라 보고 싶은데, CAT 1을 만족시키려면 함수와 공역이 묶인 것이 Mor의 원소라 봐야 해서 별로인데
함수는 원래 공역에 대한 정보를 포함하는데? 니가 가진 함수에 대한 개념이 일반적이지 않은 것 뿐임
함수가 왜 공역에 대한 정보를 포함함
함수값이 어디 속할지는 알아야할거아님 ㅋㅋ
유한벡터공간 V와 proper subpace W가 주어졌을때를 생각해보자. L(V,W)랑 L(V,V)은 아예 다르지? Isomorphism조차도 존재하지 않잖아. (차원이 다르니까) Vector space의 Category에서 Morphism을 linear map으로 정의하는게 가장 자연스러워 보이고, 그런 관점에서 볼 때 공역이 다르면 구분해야겠지
두번째로, V랑 isomorphism이지만 집합적으로는 다른 U 라는 vector space가 있다면, L(V,V)랑 L(V,U)는 아마 Vector space관점에서는 구분되지 않겠지. 그러나 linear map은 이미 함수이기 때문에, V->V로의 함수와 V->U로의 함수는 완전히 다른 대상이고, 따라서 그런 애들을 모은 두 집합은 구분되어야지
CAT 1이 없으면 "f가 isomorphism이다"라고 말할 수 없고 "f가 A에서 B로의 isomorphism이다"라고 말해야 해서 불편하겠네.
좀 기초론적인 이유가 있어보이네 범주론을 집합론의 언어로 형식화하기 위해서 CAT 1이 필요한 듯함. 카테고리 C가 locally small이 아닌 경우, id_A in Mor(A, A) 같은 말을 형식화하기 위해서는 Ar(C)에 equivalence relation을 주고 각 equivalence class에서 minimal rank(집합론의 개념)를
갖는 것만을 모아서 set으로 만들고, injective map F: Ob(C)^2 to (그 equivalence set들의 모임)을 주면 됨. 하지만 CAT 1이 없으면 equivalence relation을 주는 방식으로 형식화하기 어려움.