[일반] 행렬식 질문 받아주실분

[익명(220.118)]

이 정리에서 det 을 정의할때 2x2 인 행렬들의 집합에서 F 로 보내는 함수로 정의했는데, 정리 과정에선 왜 2x2 행렬이 아닌 1x2 인 행벡터 입력했을때 선형임을 보여서 한쪽 고정했을때 선형함수가 됨을 보이는거임? 그냥 두 벡터 입력받아서 스칼라 내뿜는 쌍선형형식으로 det 을 정의해야 이 증명 과정이 맞는거아님?

[연쵸(solstice4649)]

u v w in F² 인걸? - dc App

[익명(220.118)]

그건 내가 서술 잘못하긴 했는데, 행벡터로 써도 틀린말은 아니지않나? 아무튼 내 질문은 정리에서는 determinant를 먼저 M2×2(F)→F 로 소개해 놓고, 증명에서는 2×2 행렬 전체에 대한 선형성을 보이는 것이 아니라 순서쌍들에 대해 각 변수별 선형성만 보이는게 이해가 안된다느거임 이러면 증명에서 실제로 다루는 대상이 det이 아니라 두 순서쌍을 입력받아 F로 보내는 쌍선형형식인거아님?

[연쵸(solstice4649)]

@글쓴 수갤러(220.118) (u,w)^T in M²(F) 인걸 - dc App

[리카(lillollool)]

알고 물어보는거 아님?

[리카(lillollool)]

여기까지 읽었으면 정확하게 그렇게 고쳐 읽을수있겠지 정도로 쓴거같은데. 실제로 이미 알자늠

[리카(lillollool)]

아니근데걍 문제 없는거아님? 진지하게 (A×B)×C~A×(B×C)~×(A,B,C) 엄밀하게 구분 안했다고 딴지거는거 보는 느낌임그냥

[리카(lillollool)]

맘에안들면 맨 처음변, 맨 마지막변 지우고 읽으면 되네. 모든경우 다 커버하는건 (x1,x2) in F² 정의만 생각해도 당연한거고

[익명(220.118)]

일단 내가 글 올릴때는 M2(F) 랑 F^2×F^2 가 자연스러운 동형인지도 몰랐었음 물리학과라 좀 야매로 배워서.. 근데 자연스러운 동형이 있다고 해도 det:M2(F)→F 의 선형성을 보이는거랑 det(u v)^T : F^2×F^2→F 의 쌍선형성을 보이는거는 엄연히 다른 문제 아님? 정리의 증명과정은 후자를 보이고 있는건데,, 그리고 애초에 쌍선형 관련 내용은 내적공간파트인 6.8절에 나오는데 이걸 4장 행렬식 보는 독자가 구별할 수 있음? 나는 수리물리에서 좀 봤긴한데 4장까지 읽은 독자는 모르잖아

[리카(lillollool)]

미안 일이 고되서 피를 싼거같노.. 글본순간 알만한 사람인것같다는 판단을했어서 다른 문제가 맞긴한데 님이 말한대로 그 자연스러운 동형사상 한번만 양변에 씌우면 반대쪽 문제로 넘어갈수있고 이미 동형사상에 대해서는 2장에서 배웠을테니 문제없다고 생각함. 그리고아마 3장에서 행렬을 행벡터의 세로튜플, 열백터의 가로튜플로 보는 관점을 계속 쓰고있었어서(심지어 블록행렬표현도 나옴) 이런거 다 겪으면서 4장 도달한거라 치면 예민한사람은 이미 자연동형 맥락이 머릿속에 박혀있을거고 무덤덤한사람은 별 의문자체가 안생기지않을까. 다시생각해보니 에초에 거기서 의문이 생길거였으면사실 n튜플이뭔지부터 진작에 생겼어야한다고 생각함. 그걸위한 집합론 부록도 있어서 뭐가됐건 순서대로 읽어서 4장까지간거면 어떤 타입이건

[리카(lillollool)]

별 문제없이 넘어갈만한 내용이지않나 수학과 책이 예상하는것만큼 아주 깐깐하게는 적혀있지 않은데 어느정도로 느슨함을 혀용하는지를 아직 모르기때문에(타분야전공생이라) 드는 느낌이아닐까싶음

[리카(lillollool)]

그리고 저 정리 형태가 어느정도 다중선형사상을 4.5단원에서 소개하기위해 의도적으로 저렇게 적혀있는건 맞는데 굳이 다중선형사상이 뭔지 알아야 저 증명을 알아들을수있는진 정말 모르겠음. 이건 님이 알고있는거랑 연관지으려다가 사고가 매몰된걸수도있겠다 생각함. 그냥 자연동형 관점이면 충분해보임

[리카(lillollool)]

엥 혹시 det의 선형성을 보이는거랑<<<< 여기가 오타가 아니라면 문제자체를 착각하고있는거같은데. 책에서는 정확하게 님이 말한 두번째 성질을 얘기하고있고 그것에대한 증명임

[리카(lillollool)]

"각 행에 대하여 선형함수이다."

[익명(220.118)]

일단 나는 처음에 쌍선형 구조가 보여서 쌍선형에 너무 매몰된 것도 맞고, 또 나는 det 함수의 정의역이 M2(F) 인데 실제 증명에서는 왜 행렬이 아닌 순서쌍으로 증명을 할까? 라는 의문을 가졌는데, M2(F)와 F2×F2를 자연스럽게 식별하는 관점에서 쓴 거였고 지금은 이해됐음 이러면 정리 자체도 애초에 내가 말한 두번째 성질을 얘기하는게 맞으니깐.. 앞장부터 계속 본게 아니라 1장-2장(대충봄)-5장-6장 이렇게 봤다가 광학에서 행렬식 퍼뮤테이션 심볼로 정의? 하는게 나와서 행렬식 파트 봐야겠다하고 본건데 앞부분 내용또한 내가 좀 모르고 있던 내용이 있었네.. 새벽인데 글 달아줘서 ㄳ함 복습좀 해야겠음..

[익명(delete9920)]

@리카(7세) 이게 맞는게 이미 정리에서 얘가 다른 관점으로 보면 선형함수가 된다는걸 보이자고 언급해놔서 어찌 대답해주면 좋을까 고민되긴했음

[익명(delete9920)]

@ㅇㅇ 자연스러운 동형에 대해 알게된건 뭐 손해는 아니긴함 표기를 어찌하든 결국 같은건 같은거니까. 근데 지금 저 정리의 핵심은 그게 아니긴함

[리카(lillollool)]

@글쓴 수갤러(220.118) 프리드버그는 행렬식을 minor expansion으로 먼저 정의하고 걔랑 (e1,...,en)을 1로보내는 Fⁿ위의 교대 n중선형 스칼라값 함수로 정의하는게 동치다 라는걸 마지막절에 보이는 형식이라 처음배우긴 쉽다는 장점이 있지만 원하는게 퍼뮤테이션가지고 정의하는방향을 좀더 자세히 보는거였으면 사실 별 소득은 못보긴할거임. 난 해당 내용을 다른과목책 부록으로만 봐서 원하는게 콕찝어서 그쪽이 맞다면 다른책 추천 받는게 나을수있음

[리카(lillollool)]

@리카(7세) Lee smooth manifold 부록B에 퍼뮤테이션 정의가 있고 본 목차 텐서,미분형식 단원에서 (e1,...,en)을 1로보내는 Fⁿ위의 교대 n중선형 스칼라값 함수 정의랑 동치임을 얘기해주긴하는데 이게 행렬식만을 원한다면 최적화루트는 아닐거라 추천하긴좀그래서