수학 분야별 난이도 차이는 분명 있는건 맞음. 

나도 상대적으로 하기 쉬운 분야 전공이기 때문에 더 잘 암. 

일반적으로 사람들이 생각하는 난이도는 다음 정도라고 생각함. 

1. 대수기하, 카테고리 이론, 정수론 

2. 함수해석학, 미분기하, 복소해석, 위상수학 확률론 동역학 등 

3. PDE, 계산수학 조합론 

4. 수치해석, 응용수학 암호학

5. 생물수학, 산업수학 

근데 그렇다고 절대로 아래 분야들이 쉽다는건 아님. 결국 난제 영역으로 가면 난이도가 극도로 어려워지는것은 다 공통임. 
그럼에도 불구하고 사람들이 위에 분야가 어렵다고 느끼는건, 분야 자체가 워낙 어렵다보니 그 분야에서 살아남는것 자체가 매우 힘들기 때문임. 

대학원 입학한 동기들 보면 솔직히 대수기하 하겠다고 패기 넘치는 학생들 대수기하 전공하면 80%이상이 이미 탈락해 있음. 다른 분야로 도망치거나, 아예 탈수학 하거나. 
그나마 남아있는 사람들도 n년째 논문 한편도 못내고 있거나, 유의미한 연구결과를 못내고 있는 경우가 태반임. 대수기하 전공 대학원생중에 매우 극소수만 학계에서 겨우 살아남음. 
(간신히 박사만 졸업한 경우는 카운트 안함)

그런데 솔직히 아래에 있는 분야들, 수치해석, 응용수학 등을 전공한 사람들은 엥간하면 살아남음. 물론 모두가 top 레벨은 가는건 아니지만 다들 논문도 적당히 많이 나오고, 마음만 먹으면 논문 양산도 가능한 수준까지 어렵지 않게 성장할 수 있음. 70%이상 박사졸업하고 포닥 자리도 잘 찾아감. 

생물수학을 따로 뺀 이유는 솔직히 생물수학은 난이도가 쉬움. 학부수준의 수학가지고도 충분히 의미있는 연구를 할 수 있음. (물론 이것도 하드한 모델링 쪽으로 가면 매우 어려움. 무시하는건 절대 아님)

그렇다고 난이도가 상대적으로 낮은 분야라고 해서 절대로 무시하진 않음. 예를 들어 응용수학에는 실제 응용이 되는 분야와의 네트워킹이 중요하기 때문에 수학과에서는 기대하기 힘든 사회성과 소통능력이 많이 기대됨. 현실 데이터 받고 모델 돌리고 그게 의미가 있다고 어필을 잘 해야하기 때문. 

그리고 마찬가지로 매우 어려운 분야를 전공한다고 그 사람들이 매우 똑똑하냐? 그것도 솔직히 아님. 왜냐하면 대수기하같은 매우 하드한 수학을 도전한 동기들이 결국 실패하고 포기하는 케이스를 매우 많이 봤거든. 아무리 어려운 분야를 한다고 하더라도, 거기에서 유의미한 실적을 남기지 못하면 그 사람은 똑똑한게 아니라 결국 학계에서는 실패한거임. 

그런 의미에서 자기들이 매우 추상적이고 하드한 수학을 한다고 해서 그거에 자부심을 가지고 다른 분야를 무시할 수가 없어. 최소한 그 하드한 분야에서 살아남아 show and prove 를 해야 의미가 있는거니까. 그게 아니고 제대로된 연구도 못하면서 책만 읽으면서 아는 개념만 자랑한다? 결국 그건 자기만족일 뿐이지 제대로된 연구는 아닌거지. 

그런 의미에서 난 하드한 수학 하는 사람을 굉장히 리스펙함. 쉽지 않은 길을 견디고 스스로를 증명한 셈이거든.