n,m을 고정하고 a_i를 n에 대한 유한수열로
만들어놓으면 Recursion theorem을 어떻게적용함? Recursion theorem적용해서 잘정의된다고 하는데 그러려면 a_i가 m부터 시작하는 무한수열로 처음부터 정의돼있어야하는거아님?
n>=m-1일때
좌변시그마에 있는 a_i는
수열 (a_i)_i=m to (n+1)이고
우변시그마에 있는 a_i는
수열 (a_i)_i=m to n인,
서로 다른 수열로 본다고 해도 재귀정리쓸각이 좀애매한데.. 무한수열로 하지않는이유가있음?
무한수열로해도 유한수열주어지면 유한수열 유한항 냅두고 나머지항은 전부0으로설정해서무한수열만들면그만아님?
처음에 정수 m을 고정하고 무한수열 (a_i)i=m to inf를 고정한 다음, 임의의 정수 n에 대해 sum i=m to n a_i를 재귀정리로 정의하는 방식이 자연스러운거아닌가? 저렇게유한수열로정의하면
구성을 대체어떻게해줘야 재귀정리쓸각이나오는지도애매하는데 책의 의도가 뭔지 혹시아시는분
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이미 덧셈이랑 곱셈이랑 거듭제곱 재귀정리이용해서 잘정의되는건 다증명해놨는데 저 유한급수 정의방식이뭔가이상해서하는질문임 - dc App
저 유한급수를 재귀정리이용해서 잘정의됨을 보이려면 수열 a_i이 처음부터 무한수열로주어지는게 아무리봐도 깔끔하지않나? - dc App
제 생각에는 무한수열을 생각하는 것은 이상함. 주어진 정보가 유한수열이고, 그러부터 유한합을 생각할 뿐인 거임. 거기서 무한수열을 생각한다는 것이 애초에 이상한 일임. - dc App
재귀정리를 적용하려면 무한수열을 주는게 훨씬 간편해서그런건데,유한수열로 정의할때 엄밀하게어떻게잘정의됨을 보임?그게궁금함 - dc App
이런식으로 봐야한다고 봄. 시그마에 딸린 인덱스를 수열과 연관짓지 말고, 함수의 정의의 인덱스라고 생각해보셈. f_n+1인거지 - dc App
@ㅇㅇ(220.126) 그럴수도 있긴 하겠네. 뒤에 것은 0으로 정의해버리면 - dc App
@ㅇㅇ(220.126) 그리고 정리를 적용한다는 생각보다는, 재귀정리 자체가 저런식의 정의가 가능하다고 보장해주는 거라고 생각하면 편함. 그 이면에는 (n,n항까지의 합)을 n+1항으로 mapping하는 어떤 함수가 작동하고 있을 거임 - dc App
@수갤러1(220.82) R에서 R로 가는 - dc App
@수갤러1(220.82) 아 여기서는 N×R 에서 R인가 - dc App
@수갤러1(220.82) ㅇㅇ책에서도 재귀적정의가잘정의됨을재귀정리를통해직접적으로보이는건보여주지않아. 재귀정리를통해알수잇다고만하지.근데그걸 일일이 다해보고있는중임. 근데 이챕터의정의는 무한수열로하는게훨씬더편해서 의아해서그랫던거임 - dc App
시그마연산을 유한수열에 대해서 다루게되면, 너무 문제가 복잡해지는거같음.. 집합 D:={(n,m,a) : n,m은 정수,a는 m이상n이하정수집합에서 R로 가는 수열} 라 하자. - dc App
이때 다음을 만족하는 함수 S:D->R가 유일하게 존재함을 보여야하는 거잖음.D의 임의의 원소 (n,m,a)를 고정했을때, 조건 1을 만족하는 임의의 수열 a' 에 대해, 조건2가 성립한다. - dc App
@ㅇㅇ(220.126) [조건 1] a'은 m이상 n+1이하의 정수집합에서 R로가는 수열이고, m<=i<=n인 모든 i에 대해 a'(i)=a(i) - dc App
[조건2] n<m인 경우, S(n,m,a)=0 n>=m-1인 경우, S(n+1,m,a')=S(n,m,a)+a'_(n+1) - dc App - dc App
정의역에 들어가는 원소의차이가 n과 n+1로만 차이나야 재귀정리가 적용되는데 수열자체가달라지기때문에 재귀정리의직접적적용이 너무어려워지는거같음 - dc App
저 책의정의를 그대로쓰려면, 시그마에들어가는 수열의 초항은 항상 m항, 말항은 항상 n항이어야만 돼서 이런문제가발생함. 책 정의를 보면 n,m을 고정하고 수열 a_i가 m항이상n항이하의실수열로 고정한 뒤에야만 sum i=m to n a_i를 정의한다고돼있어서, 이거때문에 골이아프다는거임 - dc App
댓글수정하고삭제계속하다가 실수로 다른분 댓글지웠네요 ㅈㅅ요; - dc App
흠.. 솔직히 내용을 파악하기 쉽지않네요, 님이 무슨 말하는지. 제 생각에는 훨씬 간단한 문제임. 여기서 f: N×R -> R은 f(n,시그마m to n)= 시그마 m to n+1임. 여기서 시그마는 그냥 그 시그마값에 해당하는 실수로 생각하면 됨. 시그마를 아직 정의하지 않았지만, 표현을 위해 저렇게 씀. 즉, 저걸 만족하도록 하는 실수들인 거임. - dc App
저 책의 정의를 잘보면, (a_i)_i=m to n 이고 m<=k<n 일때 sum i=m to k a_i를 정의하지않음. 오로지 sum i=m to n a_i만을 정의함.. 이것때문에 문제인거같다고하는거였음. - dc App
@ㅇㅇ(220.126) m,n을 arbitrary하게 선택하면 다 가능한 거 아닌가요? - dc App
@수갤러1(220.82) "잘 정의됨"을 보일때에 이게너무큰 걸림돌이된다고 생각하는것임 - dc App
@수갤러1(220.82) "잘 정의된다면" 저정의만으로 임의의 길이합을 당연히 다할수있죠. 임의로선택하면 되니까.. - dc App
지금 수갤러1님이 말씀하신걸 보면 결국 그냥 수열을 무한수열로 확장하고 f(n,x)=x+a_(n+1)로 설정하면 되는거잖아요. 유한수열일때는 f를 구성을 이렇게못하고 - dc App
@ㅇㅇ(220.126) 지금 정의를 다시 읽어봤는데, 저도 뭔가 착각한듯. 지금 드는 생각은 그냥 님 말대로 무한수열로 확장하는 것이 기본으로 깔려있는 게 아닌가 하는 생각이 들긴하는데요. - dc App
@수갤러1(220.82) 제가 정의 조건에서 n<m일 때를, k>n일 때 정도로 심하게 착각해서 그랬던 것 같음 - dc App
모든 정수 k<=n에 대해 sum i=m to k a_i를 다음처럼 재귀적으로 정의한다고 고치고, 두번째식을 sum i=m to k a_i := (sum i=m to k-1 a_i) + a_k whenever (k>=m) 으로 하면될듯? - dc App