똑똑한 수붕이들이라면 이미 이것의 해가 y = 3e^{2t}라는 것을 이미 알고 있을 것이다


이 방정식의 의미는 간단하다. y가 시간에 따라 변하는데, 공간적으로 어떠하든지와 무관하게 스스로의 값의 2배만큼 속도로(2y) 증가한다는 것이다.


따라서 이 방정식의 해는 초기값인 3에 그 속도인 2를 적용한 3e^{2t}이다.


마찬가지로, dy/dt = ky, y(0) = c라면, y(t) = ce^{kt}이다.


다시 말해, dy/dt = ky라는 선형 변환 규칙, 그리고 초기값만 안다면 해를 구할 수 있다.


똑똑한 수붕이들은 이제 다음도 자명하다.


dy/dt = Ay, y(0) = y0


e^At를 y0에 곱하면 된다. 그것이 전부이다.


사실 이는 y가 스칼라 필드에 살든 n차원 벡터이든지간에 성립한다. 벡터인 경우에 A는 행렬이지만 해의 모양은 여전히 e^At이다.



이제 앞의 e^At에 주목해보자.


T(t) = e^{tA}라고 하면, (사실 At나 tA나 똑같은데, 상수를 행렬에 곱하는 경우 앞에 상수가 있는 것이 더 익숙하다) T는 시간을 연산자로 보낸다. 예를 들면 T(2) = e^{2A}인데, 이 연산자는 초기값 y0를 2초 후로 보낸다.


똑똑한 수붕이들은, 1계 선형 ODE의 해의 유일성과 존재성을 이미 알고 있을 것이다. 다시 말해,

T(t)T(s) = T(t+s)이다.
초기값을 s초 후 미래로 보낸 뒤 다시 t초 후 미래로 보내는 것은, t+s초 후의 미래로 보내는 것과 같다.

T(0) = Id이다.
즉, 0초 후 미래는 바로 지금이다.


그러나 아쉽게도 우리는 일반적으로 "과거"로 돌아갈 수 없다. 즉, T(-t)가 불가능한 경우도 존재한다.
1계 선형 ODE에서는 이해되지 않지만, 다음과 같은 열 방정식을 들여다보자.


dy/dt = k d²y/dx², y(t = 0) = y0


우리는 우변이 이미 일종의 선형변환임을 알고 있다. 즉, y를 kd²y/dx²로 보내는 연산은 선형적이다. 따라서 위의 열 방정식의 해는,



y = e^{t k d²/dx²} y0



이다.


열은 곧 통계적 현상이고 통계의 꽃은 가우시안이다. (내가 그렇다면 그런 것이다)


y0가 만일 가우시안이라면, 얘의 3초 전 과거의 모습은? 5초 전 과거는?


우리는 이 함수의 과거를 어느정도는 그릴 수 있지만, 아쉽게도 모든 시간에 대해선 그럴 수 없다.


만일 가우시안의 분산이 V였다면, 아쉽게도 V/2k보다 전의 과거는 알 수 없다.


왜냐하면, 정확히 V/2k 초 전의 과거는 디랙 델타이기 때문이다!


그보다 더 전은 상상할 수 없기에, 연산자 e^{tA}는 그 역이 없다. 위의 T(t+s)와 T(0)으로 미루어보아, 대신 이 연산자들의 모임은 Semigroup이 된다.



일단 귀찮아서 여기까지 쓴다

아직 본격적인 얘기는 시작도 못했고 대부분은 다 이 내용 알겠지만

과거의 나는 다른 사람들이 쓴 이런 글들을 보고 수붕이의 꿈을 키웠다

그거에 대한 보답임