똑똑한 수붕이들은 모두 다음과 같은 미분방정식을 풀 수 있을 것이다.



dy/dt = 2y, y(0) = 3



당연하게도 이 미분방정식의 해는 y(t) = 3e^{2t}이다. 의심 많은 수붕이는 한 번 이 식을 직접 대입해서 확인해보면 좋다.



이 방정식의 의미는, 공간과 무관하게 (즉, 현재 x가 어떠하든지 그런 것은 무시하고) 현재 크기의 2배만큼의 속도로 점점 증가한다는 것이다.



위의 미분방정식을 들여다보면 다음과 같이 구성되어 있음을 알 수 있다.
(1) 시간에 따라 y가 변하는 규칙인 f(y)가 주어져 있다.
(2) 이 규칙은 y에 대한 선형변환으로 주어져 있다. 위에서 제시한 미분방정식의 경우에는, f(y) = 2y라는 선형 변환이 바로 규칙이다.
(3) 초기값이 주어져 있다.
그리고 f(y) = Ay, 초기값 y(0) = y_0라고 놓으면 우리는 다음과 같이 일반적인 미분방정식에 대한 해를 구할 수 있다.

dy/dy = Ay, y(0) = y_0에 대해
y(t) = e^{tA} y_0

tA라고 쓰든 At라고 쓰든 상관은 없지만, 여기서 핵심은 A가 스칼라가 아니어도 된다는 것이다. 선형변환의 대명사, 즉 '행렬'이어도 이는 성립한다. 그러면 y는 R^n의 벡터가 될 것이고, A는 n by n 행렬이 될 것이다.

이제 앞의 e^{tA}에 주목해보자. 사실 이것이 바로 '주어진 규칙에 따라 초기값을 변화시키는' 함수이다. 예를 들어, t = 2인 상황, 즉 e^{2A}는 주어진 규칙대로 y_0를 2초간 움직인 결과를 의미한다.

T(t) = e^{tA}라고 써보자. 그러면 T는 실수 t를 받아서 연산자 e^{tA}로 보내는 mapping이고, T(100)은 초기값 y_0을 100초 후의 미래로 보낸다.

똑똑한 수붕이들이라면, 1계 선형 ODE의 해의 유일성과 존재성에 들어봤거나 증명해본 적이 있을 것이다. 그러므로, 다음이 성립한다는 사실도 쉽게 알 수 있다.

(1) T(t)T(s) = T(t+s)이다. 즉, s초 후의 미래의 t초 후의 미래 (좌변)은 그냥 t + s초 후의 미래이다.


(2) T(0) = Id이다. 즉, 0초 후의 미래란 그냥 지금이다.



그러나, 우리는 일반적으로 '과거'로 갈 수는 없다. (마치 미래로의 시간여행은 가능하나 과거로는 불가능한 것처럼. 아님 말고)



이는 1계 선형 ODE에서는 납득하기 어려운데, 다음과 같은 '열 방정식'(heat equation)을 생각해보면 그 이유가 명확해진다.



dy/dt = k d^2 y/dx^2, y(t = 0) = y0(x)



이 방정식의 경우에도 마찬가지로, 위에서 논의한 방법을 그대로 사용할 수 있다. f(y) = k d^2y/dx^2는 다름아닌 선형 변환이기 때문이다. 따라서,



y = e^{t k d^2/dx^2} y0



이라고 쓸 수 있다. 그러나, 이 경우에는 '미래로의 이동'은 허락되지만 '과거로의 이동'은 제약이 걸리게 된다.



한 가지 예시로 가우시안 초기값을 생각해보자. y0(x) = 1/sqrt(2pi) e^{-x^2/2}라고 해 보자. 즉, N(0, 1^2)의 확률밀도함수이다.



그러면, 일반적으로 y(t, x) 역시 마찬가지로 가우시안인데, t초 후의 분산은 1 + 2kt이고, 평균은 0으로 동일하다.



따라서 우리는 과거로 갈 수 없다! 1/2k초 전의 과거는 분산이 0이고 평균이 0인 가우시안이어야만 한다. 그러나 이런 함수는 존재하지 않는다! (사실 디랙 델타이다.)



심지어, 1/2k초보다 더 전의 과거에는 분산이 음수여야만 한다. 즉, 우리는 더 이상 과거로 갈 수 없다.



즉, T(t)에는 일반적으로 역이 존재하지 않는다. 그러나 T(t)T(s) = T(t+s)라는 좋은 규칙이 있고, T(0) = Id라는 아주 좋은 성질이 있다.



그렇다, T(t)는 semigroup을 이룬다.




여러가지 해석학적 논의를 좀 많이 스킵했지만 (상태공간이나 도메인에 대한 논의. 미분은 일반적으로 unbounded operator가 된다는 점을 상기하라.) 그런걸 따지는 글은 아니니 그냥 그런가보다 해라.



그럼 이런걸 가지고 어떤 논의를 실제로 하는지 알아보자. 위에서도 말했던 열 방정식을 다시 한 번 생각해보자.



du/dt = △u

u(0) = u0

u|_∂D = 0



이번에는 초기값이 u0이고, 경계에서의 함수값이 0이라는 조건을 가지고 있다. 아까는 정의역을 R로 생각했고, 가우시안은 어차피 x가 양의 혹은 음의 무한으로 갈 때 0으로 가니까 굳이 언급하지 않았다.



A = -△이라고 두면, (참고로 △은 Laplace 연산자이며 그냥 div(grad u)를 의미한다.)



du/dt + Au = 0이고,



u(x, y, z, t) = e^{-tA} u0



이 된다는 것은 이미 똑똑한 수붕이들은 알고 있을 것이다. 사실, 이 식은 엄청나게 많은 정보를 준다.



(1) 초기값 u0가 별로 매끄럽지 않은 함수더라도, e^{-tA} u0는 매끄러워진다. 이는 exponential이 가지는 엄청난 장점이다.



(2) 게다가, 1/p + 1/q = 2를 만족하는 (p, q) 쌍에 대해서는 적당한 C가 있어서



||e^{-tA} u0||_q  ≤  C t^{-n/2 (1/p - 1/q)} ||u0||_p


가 성립한다. 여기서 n은 차원인데, 지금 x, y, z의 3차원이니까 n = 3을 넣으면 된다. 예를 들어서 p = 1이면,



||e^{-tA} u0||_∞  ≤  Ct^{-3/2} ||u0||_1



이라는 개지리는 estimation을 얻는다. 다시 말해서, 시간이 지나면 지날수록 t초 후의 함수는 t의 -3/2승에 비례해서 작아진다.



이는 물리적으로도 직관을 얻을 수 있는데, heat equation이라는 말처럼 이 미분방정식은 "열의 확산"에 대한 정보를 준다.



열이 확산되면서 온도가 점점 평탄해지는데, 그 평탄화되는 속도가 저만큼이라는 것이다. 에너지가 소산된다!



(3) 사실 얘는 inhomogeneous한 경우에도 쓸 수 있다.



du/dt + Au = f(t)



꼴의 함수를 생각하면, 놀랍게도 다음과 같은 적분인자법을 쓸 수 있다.



e^{tA} du/dt + Ae^{tA}u = e^{tA} f(t)



d/dt (e^{tA} u) = e^{tA} f(t)



e^{tA} u - u0 = int_0^t e^{sA} f(s) ds



u = e^{-tA} u0 + int_0^t e^{-(t-s)A} f(s) ds



여기서 마지막 적분 식이 convolution인 것을 생각해보면 참 묘한 기분이 들 수 있다



이외에 이런짓을 통해 여러가지 다양한 일을 할 수도 있다




예를 들어서 y' = f(y)와 같은 미분방정식에 대해, f가 비선형인 경우를 생각해보자. y' = sin(y^2 + y) 같은 더러운 상황들 말이다



그러나 이러한 미분방정식도 e^{tA}라는 도구로 '해석'할 수 있다



https://en.wikipedia.org/wiki/Hartman%E2%80%93Grobman_theorem



이런 개지리는 정리가 있어서, 비선형 문제에 대해서도 국소적으로는 선형 문제로 바꿀 수 있고, 그렇게 바꾼 선형 문제는 당연히도 f의 gradient이다. 즉,



e^{t ∇f}에 대해서 분석함으로써, 우리는 이러한 미분방정식의 해가 대충 어떻게 생겼을 것이고, 어떤 방향으로 가면 발산하는지 어떤 방향으로 가면 수렴하는지 대해서도 알 수 있다



다시 말해, 위에서 얘기했던 y = e^{t∇f} y0 + int_0^t e^{(t-s)∇f} N(s) ds꼴로 쓴 다음에 (여기서 N(s)는 nonlinear part를 말한다)



위에서 또 얘기한 추정을 거하게 들이밀어서 u가 언젠가 안정해지는지 아니면 저 N(s) 텀의 영향이 선형으로는 잡히지 않아서 지랄맞아지는지 아닌지도 알 수 있다



이게 그 뭐 폭발하는 해 어쩌고 그런 느낌이다



또, 이러한 '국소적 선형'이 통하지 않는 경우가 있는데 바로 고유값 중 하나가 0이 되어버리는 경우이다. 즉 det ∇ f = 0인 경우



그러면 그 때는 semigroup이 안정성을 논할 수 없어지고 해의 모양이 급격하게 변하게 된다



이를 bifurcation이라고 하는데 더 쓰기 귀찮으니 여기까지만 써도 알아먹을 놈들은 다 알아먹었다고 생각한다





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아까 쓴 거를 다시 좀 정리하고, 내용을 좀 추가했음


내용이 부실하다고 느껴지면 너가 이어서 쓰든 내용을 더 쓰면 된다 ㅎ


다음에는 뭘 쓸까 생각나면 써봄