f(x) = 0, (x가 유리수일 때) , 1 (x가 무리수일 때) 일 때, lim x>0 f(x) 가 존재하지 않음을 증명해보자
임의의 양수 e에 대해, 0<|x|<d 이면 |f(x)-L|<e 를 만족하는 임의의 양수 d 를 항상 찾을 수 있으면 lim x>0 f(x) = L
임의의 양수 d 에 대해 구간 (-d,d) 에는 반드시 유리수와 무리수가 하나 이상 항상 존재하므로 (예를 들어 d/2 , d/sqrt2) 극한이 있다면
임의의 양수 e에 대해 |L|<e |1-L|<e 이 반드시 성립한다. 그런데 , |L|<e 이면 -e<L<e 이므로 결코 |1-L|<e 가 될 수 없다.
따라서 임의의 양수 e에 대해 0<|x|<d 이면 |f(x)-L|<e 이게 만드는 d 를 찾을 수 없으므로 극한이 존재하지 않는다.
이해하고 있는게 맞나요?
대충은 맞는데 "임의의 양수 e에 대해 |L|<e |1-L|<e 이 반드시 성립한다. 그런데 , |L|<e 이면 -e<L<e 이므로 결코 |1-L|<e 가 될 수 없다." 라고 하면 안 됨. 왜냐하면 저게 epsilon이 좀 크면 성립할 수도 있거든 ㅇㅇ 그래서 epsilon 하나 들어주는게 맞음 대충 1/2이하 수 아무거나 잡으면 됨
그리고 마지막에 " 따라서 임의의 양수 e에 대해 0<|x| d이면 |f(x)-L|<e 이게 만드는 d 를 찾을 수 없으므로 극한이 존재하지 않는다."도 틀린 주장임 저렇게 말하면 epsilon을 뭘 들고와도 delta가 항상 없다는 주장임 . 저런 delta를 찾을 수 없는 epsilob이 존재하기에 극한이 없다고 해야함
@수갤러1(211.213) 풀이를 양화사로 적는 연습을 하는 것을 추천. for all x P(x)의 부정은 for all x bot P(x)가 아니라 there exists x s.t not P(x)임 엡델의 논리구조는 대충 이해하고 있는듯
"유리수와 무리수가 하나 이상 항상 존재하므로 (예를 들어 d/2 , d/sqrt2) 극한이 있다면" 이건 뭔 의도로 적은건지는 모르겠는데 d/2 d/sqrt(2) 모두 무리수일 수도 있음 예를 들어 d가 pi면
0으로 수렴하는 무리수열 잡아 - dc App