finite group G는 다음을 만족한다: 모든 양의 정수 n에 대해서 order가 n인 G의 subgroup의 갯수는 1개 이하이다. ...(*)
이때, 다음의 문제에 답하시오.
(i) G가 abelian이면, G는 cyclic임을 보여라.
(ii) H가 G의 normal subgroup일때, G/H도 (*)를 만족함을 보여라.
(iii) G가 cyclic임을 보여라.
1,2번까지는 금방 되는데(fundamental thm of finite abelian groups + lattice isomorphism thm) 3번이 잘 안되네요.. 도와주세요 ㅜㅜ
출처는 작년 교토대 대학원 입학시험 기출입니다(전문과목)
힌트. Sylow Theorem
시도해보겠습니다 감사합니다!
풀렸네요 감사합니다 ㅎㅎ
풀이: 귀납법 order가 n보다 작고 (*)를 만족하는 모든 finite group에 대해 (iii)가 성립한다고 가정하자. sylow's theorem에 의해, G의 order를 나누는 소수 p_i에 대해 sylow p_i-subgroup H_i가 존재한다. 이때 G/H_i의 order는 G의 order보다 작고 (*)를 만족하므로 cyclic이다. 따라서 G/H_i는 abelian이다. => [G, G]가 H_i의 subgroup이다. 서로 다른 i,j에 대해서 H_i와 H_j의 교집합은 trivial하다. 따라서 [G, G]도 trivial하고, G는 abelian이다. (i)에 의해 G는 cylic이다. G가 p-group일때의 경우에는 Z(G)가 trivial하지 않으므로 자명함.
1 2는 어케 품?
(i) G의 sylow p-subgroup이 cyclic하지 않으면 (*)를 만족 못함. abelian group 이니까decomposition 하면 바로 보임 (ii) G/H가 서로 다른 두개의 order가 같은 subgroup을 가지면, lattice isomorphism theorem에 의해서 바로 모순인게 보임