만약 어떤 구간 [a,∞) 에서 정의되는 함수 f(x)를 고려할 때, x=a 에서의 우미분계수가 존재하면 f(x) 는 a 에서 미분가능한가요? 


미분의 정의에 의해 limx>a [f(x)-f(a)]/(x-a) 의 극한값이 존재하면 f(x)는 a 에서 미분가능한 거잖아요? 

이때 극한의 정의를 보면 


∀ε>0,  ∃δ>0 such that    (∀x ∈D) 0 < |x−a|<δ ⇒ |f(x)−L|<ε 


입니다. 이때 [f(x)-f(a)]/(x-a) = g(x) 라고 생각하면 


limx>a [f(x)-f(a)]/(x-a) = limx>a g(x) 와 같습니다.


따라서 f(x)의 a 에서의 미분계수를 찾는다는 것은 g(x) 의 a 에서의 극한값을 찾는다는 것과 같습니다.


따라서 ∀ε>0,  ∃δ>0 such that    (∀x ∈D) 0 < |x−a|<δ ⇒ |g(x)−L|<ε 



를 찾으면 됩니다. 이때 (x<a) 인 점은 정의되지 않으므로 우극한만 존재하면 극한이 존재하게 됩니다. 그런데 앞서 우미분계수가 존재한다고 가정했으므로 우리는 임의의 양수 ε에 대해 조건식을 만족하는 양수 δ를 찾을 수 있으므로 g(X)는 a 에서 극한이 존재하고 이는

f(x)가 a 에서 미분계수가 존재한다는 의미와 같습니다.


따라서 구간 [a,∞) 에서 정의된 함수 f(x)가 a 에서 우미분가능하면 f(x)는 a 에서 미분가능하다.






라고 생각하는데 AI 물어보니까 아니라고 하더라고요? 근데 또 다른 AI 한테 물어보니까 맞다고하고... 

구글링 해보면 죄다 고등학교 수준 내용이어서 도움이 안되는데 수학 고수 행님들 도와주세요~~