1. A는 n×m matrix, x는 R^m, b는 R^n
(a) rankA<rank(A|b)이면 Ax=b solution 없음
(b) 임의의 b에 대해 (A^T)Ax=(A^T)b는 solution을 가짐
(c) A의 column vector들이 모두 linearly independent하면 (A^T)Ax=(A^T)b는 유일한 해를 갖는다

2. 4×4 symmetric matrix A가 eigenvalues lambda_1>=lambda_2>=lambda_3>=lambda_4 >=0
대각 방향으로 (1 1/1 1) (1 -1/-1 1)이 블록으로 들어가있고 1/2배한 4×4 matrix P가 주어짐
(a) P is an orthogonal projection
(b) tr(AP) =< lambda_1 + lambda_2
(c) max{x¡Ax+y¡Ay | x,y는 서로 수직&크기=1 x,y는 R^4}
=lambda_1 + lambda_2

3. Z×Z의 (a) prime ideal, (b) maximal ideal

4. Q(2+root(2+root(2)))=Q(cos(pi/8))이었나 보이고 (b) normal extension인 거 보이고 Galois group 구하라는 문제인가였던 듯


5~ : 졸려서 순서 기억 안 남,
순서 상관 없이 대충 기억 나는 대로 소재만 끄적여봄

f는 두 번 미분가능, lim_x->inf f(x)=0, f"(x)는 유계일 때 lim_x->inf f'(x)=0

Thomae 함수 [0, 1]에서 0으로 리만 적분 가능함 증명
힌트로 A={x in [0,1] | f(x) >= epsilon/2}이 finite set임을 보이라고 줌


[0,1]에서 정의한 함수 f(x)를
x<0에서 f(0), x>1에서 f(1)가 상수가 되게 확장하고
[-1/n,1/n]에 대한 characteristic function에 대해
둘을 곱하고 뭐 쏼라쏼라 마지막엔 균등수렴 여부 물어봄

개인적으론 충격적이었던 미방 문제
Tf(x)=int_0^pi(min{x,y}f(y))dy인가로 정의할 때
(a) Tf가 두 번 미분가능하고 (Tf)'= 쓰기 귀찮 (Tf)"=-f(x)임을 증명하고
(b) f,lambda identical하게는 0이 아니고 Tf=(lambda)f이 될 때 뭐 경곗값 조건 만족하는 뭐시기 있음을 증명해라
(c) 뭐시기

함수 이름에 rho 들어간 문제도 있었는데 뭐였더라

Rouche Theorem 써서 1<|z|<2에 있는 zero 개수


standard topology보다 strictly finer한 topology에 대해선 [0,1]이 compact가 아님을 증명

phi : covering map from B to S였나로 나오고 B는 path-connected
B가 simply connected이면 phi가 homeomorphism임을 보여라였나

13. annulus에서 바깥쪽 원에선 antipodal point끼리 identify, 안쪽 원에선 72°씩 돌린 걸 identify한 거에 대한 fundamental group

14. 여러 곡면에서 점 몇 개씩 뺀 것들 중에서 homotopy한 거끼리 그룹핑하랬던가

15. Gauss map가 injective하단 조건 줬던 기억은 남

16. compact connected orientable surface가 임의의 점에 대해 K>=0일 때, intintKdA=4pi

제대로 기억 안 나는 거랑 졸려서 가물가물할 수 있으니 감안

+ 시험 왤케들 많이 봄 ㄷㄷ
++ 대학원 가는 거 포기했다가 아쉬워서 급지원하고 시험 봐봤는데 참교육 당함... 20대 끝물에 대학원 가는 건 에바겠지?