마계 백작의 수는 내가 이전에 올린 마계 남작의 수에 비해서 좀 더 직관적으로 서술할 거임.


마계 남작의 수는 그레이엄 수열을 시작점으로 잡았는데 보통 사람들이 그레이엄 수열 같은 지엽적인 지식을 가지고 있진 않으니까 여기서는 더 쉽게 접근할 거임.


재귀적 원숭이 상황을 이용하면 쉽게 시작 가능함.




[T의 정의]


우주에 존재하는 모든 입자의 개수 추정치를 p라는 상수로 고정하고 시작하자. (10^80 정도로 추정된다고 함.)


그리고 수명이 무한한 원숭이들을 소환마법으로 소환해봐.


1번 원숭이는 1년마다 주사위 한 개를 던짐.


1번 원숭이가 6을 연속으로 p번 띄우는 사건이 발생했을 때 2번 원숭이가 주사위 한 개를 던짐.


일단 2번 원숭이가 주사위를 한 번 던지는 시점에서 이미 우주는 10^100000번 멸망하고도 한참 남을 시간임.


이 정도면 하나님도 늙어 죽었음.


근데 2번 원숭이가 또 6을 연속으로 p번 띄우면 3번 원숭이가 주사위를 던지는 거임.


이제 이걸 귀납적으로 생각해볼 수 있음


n번 원숭이가 99.9%의 확률로 주사위를 1번 이상 던지게 하는 시간(단위 : 초)을 T(n)으로 정의해보는 거임.


그러면 T(666)은?


666번째 원숭이가 주사위를 99.9% 확률로 던지게 할 수 있는 형언 불가능한 억겁의 시간이 T(666)인 거임.


상상력이 일반인보다 좋은 마법사들은 T(666)라는 억겁의 수를 상상하는 것만으로도 마나 역류가 발생하고 어지럼증이 발생함.


근데 아직 그레이엄 수까진 못 왔음.


이제 T(T(666))이라는 괴랄한 수를 생각해보자.


T(666)번째 원숭이를 생각하는 거임.


이제 형언 불가능하니 뭐니 수식어를 붙이는 게 의미없어지는 시점이 왔기 때문에 이제부터 건조하게 서술하겠음.


애초에 T(T(666))부터는 인간의 지능으로 완벽히 상상하는 게 불가능함.





[1급 공무원 원숭이]


이제 T(T(T(666))) 같은 수도 생각할 수 있음.


근데 표기를 쉽게하기 위해 T(n)을 Tn으로 표기할 거임.


그러면 T(T(T(666)))는 TTT666으로 표기 가능함.


이제 T666에서 T를 1초에 1개씩 누르는 공무원 원숭이를 생각해보자.


이 공무원 원숭이는 키보드에서 T를 1초씩 계속 누르는 거임.


예를들어 10초가 지난 시점에서 이 공무원 원숭이는 TTTTTTTTTT666을 만들었을 거임.


그리고 1급 공무원 원숭이가 100년 동안 T를 눌러서 생성한 수를 M1이라고 해봐.


그러면 이제 복제마법을 써서 1급 공무원 원숭이를 M1마리로 증식시켜봐.


얘네들을 지하 2층에 넣을 거임.(지하는 무한한 평수임)


여기 지하는 원숭이들이 일을 할 수 있게 마련된 지하 시청임.


이제 이 M1마리의 원숭이들한테 키보드를 지급해서 또 T를 누르게 하는 거임.


입력은 공유돼서 M1배 빠르게 T를 입력하는 거랑 똑같은 효과임.


또 M1마리의 1급 공무원들이 100년 동안 T를 입력해서 만든 수를 M2라고 하자.


이제 또 복제마법을 써서 이번에는 지하 3층에 원숭이를 M2마리를 집어넣는 거임.


이런 식으로 귀납적으로 반복해봐.


그러면 지하 n층의 원숭이들이 100년 동안 T를 입력해서 만든 수를 Mn이라고 할 수 있을 거임.




[2급 공무원 원숭이]


이제 지하 666층 원숭이들이 100년 동안 T를 입력해서 만든 M666이라는 수를 생각하자.


그러면 MM666이라는 수도 생각할 수 있을 거임.


즉 지하 666층이 아니라 지하 M666층의 원숭이들이 100년 동안 T를 입력해서 만든 수를 생각하자는 거임.


그러면 MMM666도 생각할 수 있고 MMMM666도 생각할 수 있음.


이제 M을 1초에 1번씩 누르는 2급 공무원 원숭이를 고용하자.


10초가 지난 시점에서 이 원숭이는 MMMMMMMMMM666을 만들었을 거임.


이번에도 똑같이 100년 동안 M을 눌러서 만든 숫자를 H1이라고 해봐.


아까랑 다른 두번째 지하시청에 와서 또 여기 지하 2층에 H1마리의 2급 공무원 원숭이를 복제시키는 거임.


그리고 지하 2층의 원숭이들이 100년 동안 M을 늘려서 만든 수를 H2라고 하는 거임.


귀납적으로 두번째 시청 지하 n층의 원숭이들이 100면 동안 M을 입력해서 만든 수를 Hn이라고 할 수 있음.




[n급 공무원 원숭이]


위 과정을 또 귀납적으로 생각해서 n번째 시청의 n급 공무원을 생각할 수 있음.


n급 공무원 원숭이는 어떤 심볼 X에 대해 X를 1초에 1번씩 늘려서 XXX666처럼 만드는 원숭이인 거임.


이제 ζ(n)을 n급 공무원 원숭이가 100년 동안 본인의 업무를 성실히 수행해서 만든 수로 정의하자.


즉 ζ(1) = M1이고 ζ(2) = H1이 되는 거임.





[마법사 원숭이]


ζ(666)을 생각하자.


즉 666번째 공무원이 100년 동안 성실히 일해서 만드는 수를 생각하자.


이쯤되면 감이 올 거임.


이제 ζ(n)을 또 ζn처럼 표기하기로 하고 ζζ666라는 수도 생각할 수 있음.


독자들은 여기서 ζ를 1초에 1번씩 늘리는 게 마법사의 업무일 거라고 생각했겠지.


근데 우리는 또 한 번의 jump를 해야돼.


ζ를 마치 T로 생각하는 거임.


정확히 말하면 1급 마법사 원숭이는 시간을 되돌려서 공무원 원숭이들을 생각하던 그 과정을 똑같이 반복하되,


미세한 균열을 만들어서 초기 함수를 T대신 ζ를 쓰는 거임.


이건 [대체 정의]라고 하는 9위계 시간 마법 중 하나임.


근데 마법사 원숭이는 [대체 정의]를 1번만 사용하지 않음.


1초에 1번씩 [대체 정의] 마법을 쓰는 게 바로 마법사 원숭이임.


마법사 원숭이가 100년 동안 [대체 정의] 마법을 써서 만든 '변형된' n급 공무원 원숭이를 생각해봐.


'변형된' 666급 공무원 원숭이가 100년 동안 성실히 일해서 만드는 수를 ψ(1)이라고 정의해보자.


ψ(2)는 ψ(1)배 빠르게 영창하는 1번 초월한 마법사 원숭이가 100년 동안 [대체 정의]를 써서 만들어내는 수임.


이제 귀납적으로 ψ(n + 1)을 ψ(n)배 빠르게 영창하는 n번 초월한 마법사 원숭이가 100년 동안 [대체 정의]를 써서 만들어내는 수라고 하자.


그러면 ψ(666)도 생각할 수 있음.


그리고 최종적으로 ψ(ψ(666))도 생각할 수 있음.


이게 바로 마계백작의 수임.