AI가 이 문제 푼 건 인간들이 수학 풀 때 쓰는 시각적/공간적 짬바(직관) 때문이라기보단 LLM이랑 강화학습이 latent space에서 서로 다른 수학 분야들 사이의 구조적 유사성을 매핑해버리는 능력 때문이라고 보는 게 더 맞는 듯함.

대충 말하면 인간은 이건 조합기하 문제라고 생각하니까 평면 위에 점 찍고 선 긋고 crossing lemma 같은 거 붙들고 있는데 모델 입장에서는 그런 분야 구분 자체가 생각보다 약함.

임베딩 공간에서는 조합기하 문제의 제약식이 대수체 위의 노름 방정식이나 algebraic group 구조랑 같은 근처에 배치되어 있었을 가능성이 있음.

이번에 풀린 90번, 원래 에르되시 unit distance problem는 결국 “평면 위에서 서로 거리가 1인 점들의 pair를 최대한 많이 만드는 문제”인데

인간은 이걸 평면 그래프나 원의 교차 같은 기하적 대상으로 직관화함.

근데 모델 내부 표현에서는 오히려 polynomial ring, algebraic integer, norm equation 같은 대수학 구조들이 더 가까운 방향으로 연결되었을 수도 있다는 거임.

예를 들어 복소수로의 embedding이나 algebraic integer의 norm 조건 같은 걸 통해 원래 거리 제약을 “특정 norm이 1이 되는 원소를 찾는 문제” 비슷하게 재해석하는 식인거지.

즉 인간 눈에는 조합기하랑 대수적 정수론이 꽤 먼 분야처럼 보이는데 모델은 그냥 loss가 가장 잘 줄어드는 방향을 따라가다 보니 자연스럽게 다른 분야 스킬트리를 타버린 거에 가까운 느낌.

흥미로운 건 XAI 관점에서도 이런 해석이 어느 정도 plausible하다는 거임.

LRP나 DeepSHAP 같은 걸로 내부 activation 흐름을 분석한다고 치면 낮은 레이어에서는 crossing number나 평면 그래프 위상 같은 기하적 특징들이 활성화되다가도 문제 규모가 커지고 combinatorial bottleneck이 생기면 상위 reasoning layer 쪽에서는 relevance가 급격히 죽고 정수론/대수학 계열 표현이 더 강하게 남는 식.

물론 현재 XAI가 실제 AI의 생각을 완벽히 복원할 수 있는 수준은 아니니까 너무 문자 그대로 받아들일 필요는 없음. 근데 최소한 이런 류의 현상. 즉 서로 다른 분야의 구조를 latent space에서 연결해버리는 능력이 현대 모델들의 중요한 특징 중 하나인 건 맞아 보임.

결국 인간 수학자는 평면에서는 이 이상 못 간다와 같은 기하적 직관이나 편향에 묶여 있는데 AI는 그런 분야적 선입견 없이 좌표계를 ring, module, algebraic group 수준의 형식 논리 구조로 치환해서 탐색해버릴 수 있다는 거지.

앞으로 모델 더 발전하면 재밌어질 것 같긴 함.
겉보기엔 조합론 문제(그니까 인간이 해당 문제를 보고 직관화 해서 떠올렸을 때는)인데 실제론(수식과 형식 자체의 개념연결고리만 보았을 때는) 대수기하/표현론/정수론 도구가 더 잘 먹힌다든가 인간은 전혀 연결이 안 된다고 생각했던 분야들 사이에서 latent level의 structural analogy를 AI가 먼저 찾아내는 일이 많아질 듯.

인간 수학자가 “이건 기하 문제다”, “이건 정수론 문제다” 하고 나눠놓은 경계 자체가 생각보다 훨씬 인위적인 분류였다는 걸 AI가 역으로 보여줄 수도 있을 것 같음 ㄹㅇ