[일반] 이것이 내포하는 의미를 알고싶어요

[익명(220.126)]

sin^-1(sinx)의 정의역은 모든 실수인데

sin^-1(sinx)=x을 만족하는 x의 범위는 -파이/2<=x<=파이/2잖아요

기본적인 개념을 떠나서 일반적으로 생각해봤을때

정의역이 달라지는 이유가 뭘까요 전자는 함수이고 후자는 방정식이니까 ~~~이런식의 설명을 듣고싶습니다

[ㅁㅁ(49.142)]

좀 익숙하게 표현하면 편의상 f=sin, g=sin^-1이라고 했을 때, (별다른 조건이 없을시에) f와 g는 f:R→R, g:[-1,1]→[-pi/2, pi/2]로 보는게 국룰임. 맨 윗줄에서 말하는거는 합성함수 g@f를 의미하는거고, g@f라는 함수는 합성함수 정의에 의해 정의역과 공역이 g@f:R→[-pi/2, pi/2] 처럼 되는 함수로 볼 수 있음. 이런 맥락에서 전자의 경우 정의역이 R인거는 명확함. 후자의 경우는 g(f(x))=x를 만족하는 x를 찾는건데, 이거는 "g가 f의 역함수니까 g@f=x가 나와서 x=x이고 그러면 방정식의 해는 x=모든 실수가 아닌가?!" 이런 맥락에서 물어본거같은데... 마찬가지로 g@f는 공역이 [-pi/2, pi/2]니까

[ㅁㅁ(49.142)]

애초에 x=g(f(x))∈[-pi/2, pi/2]가 성립해야 함. 그 이후엔 뭐 역함수랑 원래함수랑 어쩌고저쩌고 대충 풀어도 x범위가 구해지는거고.. 그리고 윗댓 말대로 엄밀하게 말하면 g랑 f는 역함수관계가 아님. f는 R에서 R로가는 f는 일대일대응이 아니니까 역함수가 없고, f의 정의역을 [-pi/2, pi/2]로 제약(윗댓에서 말하는 restriction)을 건 함수의 역함수가 g가 되는거니까 "g가 f의 역함수니까 g@f=x가 성립하고 ~~~~"하는건 주의할 필요가 있을것같음