[대학교이상] 소수의 역수들의 합은 수렴해, 발산해??

[익명(39.120)]

학교에서 급수 수렴판정하는거 배웠어

일반적으로 1/n^p꼴 급수에서

p가 1이하면 발산하고, 1보다 크면 수렴한다는걸 알게됐어

그래서 1/n의 합은 발산하잖아?

근데 여기서 궁금한게 생겼어

소수들의 역수, 즉 1/p들을 합한 급수는 수렴할까 발산할까?

분모가 1차니까 위에서 배운것처럼 발산할지,

아니면 1/n (n은 합성수)들의 합이 너무커서

그걸 제외한 소수들의 역수의 합은 수렴할지

 

어떻게 될지 알려주라!!

[수갤러 1(175.118)]

분할수의 역수가 수렴한다는건 아는데 소수의역수는 모르겟네

[수갤러 1(175.118)]

ai한테물어보니까 발산한대

[자유주의우파(fct77)]

오일러가 발산한다고 증명했음

[수학과학부생(harm3852)]

젠장 또 오일러야

[수갤러 2(121.152)]

\sum_n 1/n = \prod_p (1/p + 1/p^2 + ... ) = \prod_p 1/(1-1/p)이니까 조화급수의 발산에서 N이 무한으로 갈때 \prod_{p \leq N} 1/(1-1/p) 또한 발산함. \prod_{p \leq N} 1/(1-1/p)의 양변에 log를 씌운것도 N이 무한으로 갈때 발산하게 되는데, log (\prod_{p \leq N} 1/(1-1/p)) = -\sum_{p \leq N} log (1-1/p). 근데 -log(1-1/p) = 1/p + O(1/p^2)이고 \sum_p 1/p^2 < \sum_n 1/n^2은 수렴하니까 이것은 결국 \sum_{p \leq N} 1/p가 N이 무한으로 갈때 발산한다는걸 의미함

[수갤러 3(203.229)]

발산할 뿐 아니라 그게 발산하려면 소수의 개수가 무한해야 하기 때문에 거꾸로 특정 분포의 소수 개수가 무한한지 알아내는데 쓰임