* 이 글에서 manifold는 항상 closed connected oriented를 가정함
* 의식의 흐름대로 쓴거라 난잡할 수 있음

우선 푸앵카레가 제안하고 페렐만이 증명한 Poincaré conjecture(였던것) 원본은 다들 알듯이 다음과 같음
"임의의 simply-connected 3-manifold는 3-sphere와 homeomorphic하다"

그렇다면 3차원이 아닌 다른 차원에서는 어떨까?


우선 2-dim 이하에서는 mfd의 classification이 너무 쉬우니 제외하고, 고차원에서 이 질문이 의미를 가지려면 단순히 차원만 바꾸면 안됨

simply-conn이면서 n-sphere랑 많이 다르게 생긴게 너무 많기 때문임 (대표적으로 4-mfd에서는 CP², S²×S², K3 surface 등)

그래서 보통 generalized Poincaré conj는 다음과 같이 서술됨
"임의의 homotopy n-sphere (i.e. n-mfd which is homotopy equiv to n-sphere)는 n-sphere와 homeo하다"
즉 simply-connectedness를 더 강한 조건인 S^n과 htpy equiv할 조건으로 교체한 버전임

참고로 3-dim에서는 두 조건이 동치인데, Hurewicz thm이랑 Poincaré duality랑 Whitehead thm을 쓰면 동치란걸 그리 어렵지 않게 증명할 수 있음 (대수위상을 공부한 사람은 재미삼아 연습문제 겸 해봐도 좋음)

이제 저 GPC는 n>=5일때와 n=4일때로 나뉘고, 결론적으로 두 경우 모두 참으로 증명됨


전자(n>=5)는 Smale이 1961년에 증명했고, 특히 n>=6일 때는 Smale이 다음해에 증명한 h-cobordism thm을 이용해 쉽게 보일 수도 있음

이의 대략적인 아이디어로는 htpy n-sphere에서 disjoint한 n-ball 두개를 빼내면 나머지가 h-cobordism thm에 의해 S^{n-1}×[0,1]과 homeo하고, boundary의 gluing map에 해당하는 S^{n-1}의 모든 self-homeo는 항상 D^n 전체의 self-homeo로 extend되므로 원래 mfd가 homeo to S^n이 되는 방식임


n=4일 때가 가장 미묘했는데, 약 20년 후인 1982년에 Freedman의 (결과의 강력함과 증명의 난해함 두가지 방면으로) 전설적인 논문에서 증명됨

Freedman이 보인 정리는 다음과 같음
"임의의 unimodular symm bilinear form Q on Z^n에 대해, intersection form이 Q랑 equiv한 simply-conn topological 4-mfd X가 존재한다.
특히 Q가 even이면 X는 up to homeo로 유일하고, Q가 odd이면 X는 up to homeo로 두 가지 있으며 둘 중 최소한 한개는 smooth structure를 가지지 않는다."

여기서 intersection form이란건 대략 4-mfd X의 2nd homology class 두개를 받아 걔네의 representative surface끼리 몇번 transversally intersect하는지 세는 form이라고 생각하면 됨

이 정리에 의하면 htpy 4-sphere X는 H_2가 trivial하니까 Q는 trivial form이고, 얘는 even form이면서 S⁴의 intersection form이니 X가 S⁴와 homeo하단게 바로 나옴!


이렇게 GPC가 모든 차원에서 풀렸고 따라서 n-sphere과 htpy equiv하면 homeo라는 걸 알았는데, 여기서 더 가서 걔네가 diffeomorphic까지 한지를 물어보는 smooth Poincarè conj를 생각해볼 수도 있음

다행히 n<=3일 때는 smooth 카테고리와 topological 카테고리가 일치해서 (즉 3차원 이하의 모든 top mfd가 smooth structure를 유일하게 가져서) 별다를게 없고,

n>=5일 때는 일반적으로 거짓임이 증명됨. 즉 고차원의 sphere들은 smooth structure를 여러 개 가질 수 있음

특히 그 개수는 각 차원에서 모두 유한개이고, 이론적으로 계산도 대수위상으로 다 가능함!
제일 유명한 것으로는 처음으로 발견된 exotic 7-sphere가 있는데, Milnor가 S⁷의 smooth structure가 최소 7개 존재함을 (직접 construct함으로써) 증명했고, 나중에 Kirvaire와 함께 총 28개 존재한다는 것도 증명함


n=4일 때는 여기서도 미묘한데, 아직 알려진게 없는 open problem임
S⁴에 exotic structure가 몇개 존재하는지, 유한개 존재하는지, 존재하긴 하는건지 아무것도 모름
이와 관련해 알려진 사실은 만약 존재한다면 개수는 at most countable이라는 사실밖에 없는걸로 알고있음


요약하자면
Generalize Poincaré conjecture (topological 버전) : 모든 차원에서 참
Smooth Poincaré conjecture : n>=5일때 일반적으로 거짓, n=4일때 open problem


기말채점하기싫다