[일반] 프리드버그 선대 replacement theorem 증명 오류 아닙니까?

[익명(59.30)]

"m이 n보다 작거나 같음"을 보여야 하는데,

그걸 수학적 귀납법으로 보이는것 부터가 오류이지 않습니까?

책에서는 n을 고정하고 m에 대해 귀납법을 적용하는데

애초에 n을 고정하면 "모든 자연수 m에 대해 m이 n보다 작거나 같다" 자체가 거짓이지 않습니까?

가정과 결론 자체가 명확히 있는 명제인데 그걸 어떻게 수학적 귀납법으로 증명하려고 하죠?

- dc official App

[익명(126.233)]

이렇게만 물어보면 n이 뭐고 m이 뭔지 알 수가 없는데 질문을 더 자세히 하는게 좋을듯

[익명(59.30)]

V는 임의의 벡터공간이다. G가 V를 생성하고 원소 개수가 n인 집합, H는 일차독립이고 원소 개수가 m인 집합 이면 m이 n보다 작거나 같다. and H의 원소 개수가 n-m이고 L 합집합 H가 V를 생성하는 G의 진부분집합 H가 존재한다. - dc App

[익명(59.30)]

@ㅇㅇ(59.30) 아 진부분집합이 아니라 부분집합. - dc App

[익명(126.233)]

증명을 다 봐야 알겠지만 m은 임의의 자연수가 아니라 일차독립인 집합의 원소 개수니까 별 문제 없을 거 같은데? 귀납법이 m=0이나 1부터 시작해서 무한히 가는게 아니라 n에서 끝나는거지

[익명(59.30)]

@ㅇㅇ(126.233) 귀납법이 m이 1(또는0)부터 출발해서 n까지 끝난다는 것 자체가 이미 m이 n보다 작거나 같음을 가정하고 있는 것 아닌가요? 예를 들어 n=5로 고정시키면 m이 5보다 작거나 같음을 보이고 싶은데 귀납법이 5에서 끝난다는 것 자체가 보이고 싶은 명제를 가정하는 것 아닌가요? - dc App

[익명(59.30)]

@ㅇㅇ(126.233) 책에서는 n을 고정시키고(상수 취급) m이 n보다 작거나 같음이 성립한다고 가정하고 m+1이 n보다 작거나 같음을 보이는 논리를 사용하였는데 애초에 논리가 이상한 것 같습니다 수학적 귀납법으로 m이 n보다 작거나 같음을 보이는 과정에서 이미 m의 범위가 n을 초과할 수 없다는 사실을 전제하고 있는 것 같습니다 결론적으로 왜 m>n인 경우를 배제할 수 없는가에 대한 타당한 근거를 제시할 수 없는 것 같습니다 - dc App

[익명(59.30)]

@ㅇㅇ(126.233) 책의 저자는 아마 이걸 의도한 것 같습니다 "실제로 존재하는 모든 |L|=m을 만족하는 일차독립집합 L에 대하여"... 그런데, m개의 원소를 갖는 일차독립 집합이 실제로 존재하려면 이미 m이 n보다 작거나 같음을 알아야 하는 것이 아닌가. 그런데 바로 그 사실이 증명하고자 하는 내용이기 때문에 순환논법이 되지 않는가 하는 것이 저의 의문입니다. - dc App

[익명(126.233)]

그렇네 전체 증명을 봐야 알 거 같은데

[익명(126.233)]

대충 증명을 봤는데 논리적으로 이상한 건 없는 것 같음. 핵심은 귀납법을 쓰려는 명제가 (n을 고정하고) "만약 일차독립인 원소 m개 집합이 존재한다면 m이 n 이하다"라는거임. 그래서 m이 n보다 크면 공허참인 식으로 귀납법을 전개할 수 있음

[익명(59.30)]

@ㅇㅇ(126.233) 공허참이라고 말하려면 이미 m>n 에서는 그런 집합이 존재하지 않는다는 걸 알아야 하는데, 바로 그게 우리가 증명하려는 내용 아닌가요? 즉, 그 전제가 거짓이라는 사실이 replacement theorem의 첫번째 결론인 것 같습니다 - dc App

[익명(126.233)]

그건 미리 알 필요가 없지. 어쨌든 귀납법을 쓸 때 m+1개짜리 일차독립 집합이 있다고 치고 논리를 전개하니까. 실제로 그런 집합이 있는지 없는지는 알 필요가 없음

[익명(126.233)]

그래서 논리가 어떻게 되냐면, m+1개짜리 일차독립 집합이 있다고 치고... 결과적으로 m+1이 n 이하였다는 결론을 얻는거임. 만약 진짜로 너의 m+1이 n 이하였으면 아무 문제 없고, 만약 m+1이 n보다 컸다면 귀류법에 의해 처음부터 그런 집합이 없었다는 결론을 얻겠지. 그래서 실제 귀납법은 m=n+1에서 모순을 얻고 끝남

[익명(126.233)]

헷갈리면 그냥 "m이 n 이하이면 replacement를 할 수 있다" 라는 명제를 귀납법으로 먼저 증명하고 이를 이용해서 n+1개짜리 일차독립인 집합이 존재하지 않는다는 것을 증명했다고 생각하셈

[익명(59.30)]

@ㅇㅇ(126.233) 감사합니다 이해하는데 한참 걸렸네요 수학적 귀납법 안에 귀류법이 들어가 있어서 그런지 논리가 어려운 것 같습니다 - dc App

[익명(126.233)]

@ㅇㅇ(59.30) 귀납법을 좀 반직관적으로 쓴 건 맞는듯 다른 책 보면 더 좋은 증명이 있을 것 같은데

[연쵸(solstice4649)]

LI set이 span set보다 항상 크지않다를 보여쥰거아님? - dc App

[수갤러 3(118.235)]

대체정리가 원래 뉴비절단기임