바로 algebraic period. 

algebraic period 라는 개념은 대수적 수를 확장한 개념으로 다들 알다시피 대수적 수는 유리계수 n차 방정싱식의 해가 되는 수를 의미함. 대표적인 예로 루트2, x^3=1의 해, 등이 있지. 
그리고 대수적 수가 아닌 수, 즉 대수방정식의 해가 아닌 수를 초월수라고 함. 대표적으로 e, pi 등이 있지.

근데 가만 생각해보면 대수적수는 너무 작은 개념임.우리가 자주 사용하는 e, pi 같은 숫자들이 초월수이긴 하지만 너무 친숙하잖아. 그러면 대수적 수를 확장해서 진짜 우리가 아는 개념으로 표현 가능한 수와, 진정한 초월수를 구분해 볼수 있지 않을까?

라는 생각에서 나온것이 algebraic period 임. period는 여기에서 적분을 추가함. 

예를 들어 pi 는 초월수이지만 4 arctan(1)이기 때문에 \int_0^1 4/(1+x^2) dx로 적분을 이용하면 간단하게 표현이 가능함.

ln(2), ln(3)등도 초월수 이지만 \int_{1}^2 1/x dx 등으로 쉽게 표현가능함. 

이런걸 일반화 해서 \int Q(x1,x2, ..., x_n) dx1 ... dxn 의 적분형태로 표현가능한 모든 수를 period 라고 부름. 여기서 Q는 유리함수고 적분구간은 다항식으로 주어진 범위임. 근데 이렇게 확장하고 보니까, 매우 간단한 문제가 생김. 

바로 e는 period인가? 즉, e라는 함수를 유리함수의 정적분으로 표현을 할 수 있는가? 

이 문제는 바로 오일러부터 수없이 많은 수학자들이 시도했던 문제이고, 아쉽게도 그 누구도 성공하지 못함. e 뿐만 아니라 어떤 주어진 수가 period가 아니라고 증명하는 것은 매우 끔찍하게 어려움. 

간단하게 생각하면 모든 period는 computable number이고 따라서 countable임. 그래서 사실상 거의 대부분의 숫자는 period 가 아님. 하지만 우리는 자명한 uncomputable number말고 period 가 아닌 숫자는 매우 드물게 알려져 있음.

인위적으로 Liouville number 처럼 인위적으로 만든 숫자들만 period가 아니라고 알려져 있고 (증명도 non-elementary 하다는 식), 그 밖에 자연스러운 숫자들, e, 1/pi 등들도 period가 아닌지 모름. 이건 굉장히 역사가 오래되었는데 지금껏 수많은 수학자들이 e의 정적분 꼴을 생각해 내려고 시도했기 때문임. 하지만 모두가 처절하게 실패하고 아마도 e는 period가 아닐것이다 정도로 추측하고 있음.  

하지만 아직까지 아무도 어떻게 이걸 증명해야 하는지 감도 못잡고 있는 실정임. period의 개념을 고안한 Kontsevich and Zagier는 이것이 극도로 어려운 문제일것이다라고 추측하고 있음. 학자들은 이런 문제를 해결하기 위해 Motivic Galois theory 같은 가상의 이론이 필요하다고 생각하고 있음. 대수방정식의 Galois theory처럼 여기서도 모종의 Galois theory가 존재해서 이런 불가능성 문제들을 해결할 수 있지 않을까라고 기대중임. 

하지만 이걸 어떻게 해결해야 하는지에 대해서 아직까지도 감도 못잡고 있는 실정임. 아마도 현대수학의 가장 어려운 문제중의 하나라고 할 수 있음. 

과연 e는 정적분으로 표현이 가능할 것인가?