1.
위의 정의를 고딩수학수준에서
[a,b]에서 연속이라고만 제시되어있는 함수 f(x)를 대상으로 바꿔쓰면 아래와 같나요?
(제가 가지고있는 고딩 교과서들이 볼록성을 따질때 미분이불가능한 함수를 다루지않아서...그나마 y=|x| 는 나와있습니다)
a=<x1<x2=<b 인 임의의 x1,x2 에 대하여,
점P(x1,f(x1))와 Q(x2,f(x2))를 이은 선분 PQ위의 양끝점포함 모든부분이 y=f(x) 그래프의 밑에있거나 겹치면 f를 [a,b] 에서 위로볼록인 함수라고한다.
2.
1의 x1,x2,f(x)와 x1<c<x2 인 모든c에 대하여
i. f(x1) =< f(c)
ii. f(x2) =< f(c)
iii. x1+x1 < x1+x2 < x2+x2
x1 < (x1+x2)/2 < x2
가 성립하므로
f(x1) =< f((x1+x2)/2)
f(x2) =< f((x1+x2)/2)
(f(x1)+f(x2))/2 =< f((x1+x2)/2) 성립
이렇게 젠슨부등식을 유도해도 되나요?
항이 3개일때도 어떻게 할지 대충 감이 오긴합니다.
i. f(x1) =< f(c) ii. f(x2) =< f(c) 이건 좀 위험하지 않나
그냥 직선과 f의 (x1+x2)/2에서의 값 생각하면 될 듯
1. 선분이 그래프 밑에 있다는 게 정확히 무슨 뜻일까? 2. x^2은 볼록이지만 x1=-1, x2=1, c=0에 대해 i와 ii가 성립하지 않지. 볼록성이 무엇을 말하고 있는지에 대해 완전히 잘못 생각하고 있음
1. 위로 볼록인 함수에 대해서 쓴글입니다만ㅠㅠ... [a,b]에서 f(x)>=0 이라하고, PQ선분을 f(x)위의 x좌표가 x1일때와 x2인 점을 이은것이라 정의하였고 PQ선분을 함수h(x)로봤을때 정의역인 [x1,x2] 에 속하는 x=t에 대하여, 같은x=t일때의 h(t)가 f(t)보다 작거나 같은 상황이에요
2. 간단하게 f(x)가 [a,b]에서 위로볼록인 상황만 다루고있습니다. 말씀하신 함수는 아래로볼록이고 -만 붙이면 함슨 y= -x^2는 위로볼록인함수이기에 i 과 ii 를 만족합니다.
그러면 더 이상하지. 직선이 i랑 ii를 둘 다 만족함?
정의역내에서 미분이 불가능하여 ㅅ 자 형태의 직선구간을 가지지만, 볼록성은 따질수있지않나요? ㅅ자 형태에서 중앙의 왼쪽 / 형태인 구간에서 x1과 x2를 뽑게된다면 PQ선분이 그 구간에서 f와 아예 일치하는 상황이지만 어쨋든 위로볼록인 함수아닌가요...?
a =< x1 < c < x2 =< b인 모든 c에 대하여 i과 ii를 만족하면 위로볼록함수가 맞지않나요?
무슨 소리를 하는거임 네 주장은 볼록함수는 항상 i, ii를 만족한다는 거 아님? 그렇지 않다는 말임. 그냥 곧은 직선 하나 쭉 그리면 그게 항상 i, ii를 만족함?
그럼 [a,b] 에서 위로볼록인 연속함수f의 정의가 어떻게되나요...?? 고딩과정내에서 해보려는데 찾아보니 사진으로 첨부한 정의만 계속 떠서 제가 이해한만큼만 표현한게 1의 두번째문단입니다.
그럼 함수h(x)= -x^2 는 실수전체에서 위로볼록인 함수가 아닌건가요...?
아!!!!!!!!!!!!!!!! 이해했습니다
헷갈리면 그림을 그려봐 -x^2 그래프에서 x1=1, x2=2인 경우를 그려보셈
[a,b]에서 기울기가 0이 아닌 직선보다 함수f(x)가 크거나 같아야하는데 기울기가 0인 직선으로 시도하고있었네요 ㅠ
어디서 잘못됬는지 이해됬습니다ㅠㅠ 다들 감사합니다