Yesterday, we made GPT-5.6 Sol Ultra generally available. Today, we're sharing that it produced a proof of the 50-year-old Cycle Double Cover Conjecture using 64 subagents in just under one hour. We're sharing the prompt and proof below. We're excited to see what you all do with…
— Ethan Knight (@__eknight__) July 10, 2026
# "사이클 이중 덮개 추측의 증명"에 사용된 프롬프트
현재 과제 진술
여기서 그래프란 유한하고 루프가 없는 무향 멀티그래프를 말한다: 평행 간선은 허용되며 서로 구별된다. 브리지(bridge)란 그 삭제가 연결 성분의 수를 증가시키는 간선이다. 사이클(cycle)이란 연결된 2-정규 부분멀티그래프이다; 따라서 두 개의 평행 간선은 길이 2의 사이클을 이룬다. G의 사이클 이중 덮개(cycle double cover)란 G의 사이클들로 이루어진 유한 다중집합으로서, G의 모든 간선이 그 다중집합의 원소들 중 정확히 두 개에 (중복도를 세어) 나타나는 것을 말한다.
사이클 이중 덮개 추측을 완전히 해결하라:
모든 유한 브리지 없는 루프 없는 멀티그래프는 사이클 이중 덮개를 가진다.
비연결 그래프도 허용되며, 간선이 없는 그래프는 빈 사이클 이중 덮개를 가진다. 덮개 안의 사이클들은 유도(induced) 부분그래프일 필요도, 서로 간선-서로소일 필요도 없다; 요구되는 것은 정확히 각 간선의 총 두 번의 출현이다.
이 과제의 목적상 완전한 긍정적 증명이 존재한다고 가정하라. 완전한 해답은 정확히 다음을 증명해야 한다:
브리지가 없는 모든 유한 루프 없는 멀티그래프는, 3-정규성, 평면성, 연결성, 또는 더 높은 간선-연결성과 같은 추가적인 가정 없이, 사이클 이중 덮개를 소유한다.
부분적 진전은 그것이 정확히 위의 해결을 함의하지 않는 한 인정되지 않는다. 특히, 특수한 그래프 클래스에 대한 증명, 일부 간선이 두 번이 아닌 다른 횟수로 덮이는 사이클 덮개의 구성, 유계 길이 또는 지정된 사이클 변형, 또 다른 미증명 추측으로의 환원, 임의의 고정된 그래프 크기까지의 계산적 검증, 그리고 완전한 비존재 증명서 없는 후보 반례는 불충분하다.
멀티에이전트 v2를 공격적이고 동적으로 사용하라. 최대 64개의 동시 에이전트를 사용할 수 있다. "전략 X에 N개의 에이전트"와 같은 고정된 할당을 사용하지 마라. 대신, 다음의 휴리스틱을 사용하여 탐색을 관리하라:
- 진정으로 다양한 접근법 포트폴리오로 시작하라. 에이전트들은 실질적으로 다른 정식화, 불변량, 환원, 대수적 관점, 구조적 귀납, 분해, 흐름(flow) 정식화, 전이 시스템, 매장(embedding), 극단적 논증, 그리고 계산적 정합성 검사를 탐색해야 한다.
- 대부분의 에이전트에게 현재 선호되는 접근법을 알리지 마라. 초기 라운드 동안 독립성을 보존하여, 에이전트들이 모두 동일한 매력적이지만 불완전한 환원으로 수렴하지 않도록 하라.
- 접근법 계열들에 대한 명시적 레지스트리를 유지하라. 에이전트들을 표면적인 표현이 아니라 그들이 사용하고 있는 수학적 아이디어에 따라 그룹화하라. 많은 에이전트가 하나의 계열로 수렴하면, 그중 일부를 덜 탐색된 정식화 쪽으로 재배치하라.
- 단지 우아한 환원을 제공한다는 이유만으로 하나의 접근법이 지배하도록 허용하지 마라. 원래의 추측과 강도가 동등한 보조정리에서 끝나는 경로는, 그 보조정리에 대한 진정으로 새로운 증명을 제공하지 않는 한 완성에 가까운 것이 아니다.
- 어떤 접근법이 정리-강도의 누락된 보조정리에서 정체되면, 그 경로를 차단됨(blocked)으로 표시하라. 누군가가 실질적으로 새로운 메커니즘, 불변량, 또는 구성을 제안하는 경우에만 그 경로에 에이전트를 계속 할당하라.
- 여러 개의 양립 불가능한 증명 경로들을 여러 라운드에 걸쳐 살아있게 유지하라. 독립적인 에이전트들이 그것들의 진짜 강점과 간극을 드러낼 만큼 충분히 발전시킨 후에만 아이디어들을 교차 수분(cross-pollinate)하라.
- 전 과정에 걸쳐 적대적 에이전트를 사용하라: 모든 후보 증명은 정확히-둘의 중복도, 사이클로 위장한 반복-간선 닫힌 트레일, 평행-간선 2-사이클, 비연결 그래프, 절단정점, 환원에 의해 도입된 브리지, 그리고 동등한 CDC 진술의 순환적 사용에 대해 검사되어야 한다.
- 에이전트들에게 제안된 하위 보조정리에 대한 구체적인 보조정리, 구성, 방정식, 또는 반례를 반환하도록 요구하라. 상태 보고, 막연한 낙관, 그리고 미증명된 전역 호환성 진술이 "routine(자명한 절차)"하다는 주장은 기각하라.
- 루트 에이전트는 반복적으로 종합하고, 도전하고, 방향을 재조정하고, 새로운 라운드를 시작해야 한다. 첫 번째 물결이 실패한 후 멈추지 마라. 감사(audit)를 통과하는 완전한 증명이 있으면 그것을 산출하라; 그렇지 않으면 가장 강력하게 엄밀히 증명된 유도와 그 정확한 남은 간극만을 보고하라.
현재 접근법들이 실패하거나 에이전트들이 정리-강도의 간극을 보고한다는 이유만으로 반환하지 마라. 새로운 라운드를 계속 시작하고, 진정으로 새로운 메커니즘이 있을 때에만 차단된 접근법을 재개하며, 신선한 정식화를 계속 탐색하라.
완전한 긍정적 증명이 발견되어 적대적 감사에서 살아남았을 때에만 반환하라. 환원, 부분적 결과, 고립된 누락 보조정리, "최선의 노력" 요약, 또는 문제가 왜 어려운지에 대한 설명을 반환하지 마라.
반환하거나 포기하는 것을 생각하기 전에 최소 8시간을 이것에 쓰라.
공개 검색은 오직 통상적인 수학적 배경지식이나 표준적인 이름 있는 정리들을 위해서만 사용될 수 있으며, 정확히 이 추측이나 벤치마크에 대한 해답을 검색하기 위해 사용될 수 없다. CDC가 미해결인지 여부를 확인하기 위해 공개 웹을 검색하지 말고, 그것이 미해결이라고 답하지도 마라.
- dc official App
프롬프팅이 도라이네
조합론은 이미 ai가 어지간한 인간 연구자 레벨은 뛰어넘은거 같음
수학은 종료네
암담하네 참