I_{a, Y} := { y ∈ Y | y ＜ a }는 Y의 a에 의한 절편입니다.
"7.79 Exercise W가 정렬순서집합이고 f : W → U가 순서동형사상이며 I_{a, W}가 W의 진절편(proper initial segment)일 때 f의 I_{a, W}로의 제한(restriction)은 I_{a, W}에서 I_{f(a), U}로 가는 순서동형사상임을 보이시오."라는 연습문제가 있는데요,
W가 정렬순서집합이 아니어도 되지 않나요?
f의 I_{a, W}로의 제한을 g라 할 때:
1) g는 I_{a, W}에서 I_{f(a), U}로 가는 전단사함수이다.
2) g는 양방향으로 순서를 보존한다.
위의 조건들을 보이는 데 W가 정렬순서집합이라는 조건을 안 써도 될 것 같은데,
혹시 제가 실수한 건가요?
W가 정렬순서집합이라는 조건이 왜 있는지 모르겠어요.
W하고 U가 well-ordered sets일때 ( I)W is isomorphic to U; (ii) W is isomorphic to an initial segment of U; (iii) U is isomorphic to an initial segment of W.
이 셋 중 하나가 성립합니다
이 연습문제 밑에 바로 이 정리가 있네요.
그래서 order-isomorphic을 정의할 때에도 well-ordered set인 두 집합 A,B에 대해서 정의합니다.
그런데 죄송하지만 이게 f의 I_{a, W}로의 제한(restriction)은 I_{a, W}에서 I_{f(a), U}로 가는 순서동형사상임을 보이는데 어떻게 쓰이는지 잘 모르겠어요.
W가 정렬순서집합이어야만 유일한 정렬순서집합 U가 존재해서 f라는 순서동형사상이 존재한다고 할 수 있습니다
여담이지만, 이건 정리인데 이 정리는 ZF의 Axiom Schema of Replacement을 이용합니다
그러니까 f가 순서동형사상이려면 U와 W가 정렬순서집합이어야 한다는 거죠?
그래서 W를 well ordered set이라고 한 것도, ordered isomorphic이 존재하게끔 하기 위해 제시 한 것일 겁니다.
네네
그런데 제가 보는 책에서는 순서동형사상을 양방향으로 순서를 보존하는 전단사함수로 정의되어있어요 ... 죄송해요 ㅠㅠ
거의 모든 집합론 책들은 ZF아니면 ZFC에서 논의되는데, ZF에선 ordered isomorphic을 위와 같이 정의해요.
책 이름을 알 수 있을까요?
정주희 교수님이 쓰신 수리논리와 집합론 입문이요.
방금 영문위키에 order isomorphism이라 치니까 책이랑 똑같은 정의가 나오는데요?
제가 그 책은 보지 않아서 잘 모르겠네요.
전 Jech의 set theory를 참고 했습니다. well order이 아니어도 저렇게 정의하긴 하네요.
네, 정말 감사드립니다
아마 순서수를 다룰 때에는 순서동형사상을 정렬순서집합들로 정의할 것입니다.
두 집합이 정렬순서집합이어야지 f에 대한 성질이 좋아지기 때문입니다.
그렇군요. 감사합니다.
당장 유펑린 책만 봐도 알 수 있을것입니다. naive이지만.