[일반] 이런게 정리가 될 수 있음?

[익명(220.72)]

아니면 레마 수준임?

*은 디리클레곱

- dc official App

[익명(49.143)]

저런 복잡한공식 너무 싫더라. 좀 깔끔한 정리가 제일 좋음.

[익명(211.36)]

저정도면 겉보기에도 복잡한게 아니고 formula의 복잡도는 겉보기에 있는것도 아닙

[익명(211.36)]

Abel formula랑 비슷해 보이는데 N이랑 M이 뭔지 언급도 없고

[익명(175.223)]

M은 메르텐스고 N은 N(n)=n이지 - dc App

[익명(211.36)]

그걸 적어놔야 아는거니까 당연한듯 말하는거 ㄴㄴ 어쨌든 그럼 그냥 아벨포뮬러랑 메르텐스 디리클레 컨벌루젼으로 나오네

[익명(211.36)]

저정도면 아벨포뮬러랑 디리클레 컨벌류젼으로 얻을수 있다 한문장으로 끝내고 유도과정 안보여줘도 괜찮음

[익명(175.223)]

아벨로 나옴? - dc App

[익명(211.36)]

형태를 착각했네 아벨 바로 적용해서는 안나오는거 같고 뭐 좀 거쳐야 되는거 같은데? 그럼 이야기가 달라지지

[익명(211.36)]

그리고 렘마 만드는건 정리가 길어지면 쪼갠다고 생각하면 됨 중요한거로 밝혀지면 어차피 남들이 다 알아봐줌

[익명(175.223)]

그러쿤 - dc App

[익명(175.223)]

근데 M(x)의 O-result 어디서 볼수잇슴? 그거만 잇으면 좀 해보겟는데 - dc App

[익명(211.36)]

정수론이든 뭐든 왠만한 결과들은 구글에 쳐보면 아카이브나 저널사이트에 다 나옴 밑에 글쓴이랑 동일인인거 같고 검색이 약간 서투른거 같아서 하는말

[익명(211.36)]

영어로 치면 다 나오니 서투르고 능숙하고 할것도 없지만

[익명(211.36)]

아무튼 저걸 활용해서 무슨 중요한 결과를 얻을수 있는지가 저 식의 중요도랑 비례하겠지?

[익명(175.203)]

해석적 정수론의 많은 문제가 M(x)에 대한 좋은 estimate를 얻는것과 관련이 있음. |M(x)|가 x 이하라는건 정의로부터 자명한데, 이것보다 약간 개선한 M(x)=o(x)조차 소수정리와 동치임. M(x)의 bound는 제타함수의 zero-free region과 관련이 있는데, 예를 들어서 t가 제타함수의 nontrivial zero의 real part의 supremum이라 하면, 임의의 e>0에 대해서 M(x)=O(x^{t+e})라는걸 제타함수의 역수에 Perron's formula 쓰면 어렵지 않게 보일수 있음. (하지만 M(x)=o(x^t)는 불가능하고, 제타함수의 nontrivial zero의 multiplicity에 따라서 log 항이 붙으므로 어떤 의미에서 best possible)

[익명(175.203)]

이러한 이유로 RH와 임의의 e>0에 대해서 M(x)=O(x^{1/2+e})임을 보이는건 동치. 실제로 RH보다 더 강한, 1보다 큰 자연수 n에 대해서 |M(n)|이 n^{1/2} 미만이라는 Mertens의 추측이 있음.

[익명(175.203)]

Mobius 함수의 합 (혹은 sign의 분포) 과 관련한 다른 유명한 conjecture로는 Chowla의 추측이 있음.
https://terrytao.wordpress.com/2012/10/14/the-chowla-conjecture-and-the-sarnak-conjecture/

[익명(175.203)]

그러니까 RH를 가정하지 않는다면.. Vinogradov-Korobov의 제타함수의 zero-free region에 관한 결과를 사용한다면 M(x)=o(x exp(-c(log x)^{3/5})) 정도를 이끌어낼 수 있을것임.

[익명(175.223)]

c는 임의의 양의 상수임? - dc App

[익명(175.223)]

리틀 오임? 빅이엇던거같은디 - dc App

[익명(175.203)]

아니.. 어떤 양의 상수임. 실제로 Vinogradov-Korobov zero-free region에 대한 bound를 적용하면 M(x)=O(x exp(-c (log x)^{3/5} / (log log x)^{1/5}))임을 보일수 있는데, 지저분해서 뒤의 (log log x)^{1/5} term을 제거하고 그냥 o(x exp(-c (logx)^{3/5}))로 표기했음.

[익명(175.203)]

제타함수의 zero-free region에 대해서 관심이 있으면 Kevin Ford의 (좀 연식이 된 survey긴 하지만..) 다음 survey 참고.
https://faculty.math.illinois.edu/~ford/wwwpapers/zeros.pdf

[익명(175.203)]

위 댓글에서 언급한것처럼, 결국 M(x)에 대한 이보다 더 좋은 estimate을 얻으려면 제타함수의 zero-free region에 대한 Vinogradov-Korobov보다 더 개선된 결과가 필요한데, 아무래도 이건 수십년간 개선되지 않는것이다보니.. 어려움.

[익명(175.203)]

아 내가 순간 정신이 없어서 o(x exp(-c (logx)^{3/5}))로 적었네. -_-; 그냥 임의의 e>0에 대해서 O(x exp(-c (logx)^{3/5-e}))로 보면 됨. 미안.