[일반] 겉넓이는 유한한데 부피가 무한한 도형은 없나요?

[익명(121.173)]

가브리엘의 나팔과 완전히 반대되는 개념인,,

겉넓이는 유한하지만, 부피가 무한한 경우는 존재하지않나요?

존재하지 않다면 그 증명도 한번 보고싶어요

[겨울_(silhouet72)]

없음.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Gabriel%27s_Horn
의 converse를 참조하면 됨

[겨울_(silhouet72)]

본문에서 묘사하는 도형이 없을 거라는 것은 차원을 낮춰보면 추측하기 쉬운데, 예를 들어 2차원에서는 둘레는 유한인데 넓이는 무한인 도형이 있는지 묻는 문제가 됨. 그런데 둘레가 유한이면 등주부등식에 의해 도형의 넓이가 적당한 원의 넓이보다 커지지 못해서 항상 넓이가 bound됨. 3차원도 비슷할 거고.