[일반] 해석학 문제 질문점

[330(163.152)]

f가 다항함수 일 때 f(x) - sinx = 0의 해가 유한개 임을 보여라.

이게 문제인데 어떻게 푸나요? 복소해석으로는 풀리는데 그냥 기초 해석학으로 어떻게 풀어야 할 지 모르겠네요 ㅠㅠ

[익명(125.143)]

복소해석으로는 어케 품?

[330(163.152)]

해집합이 bounded라서 컴팩트입니다. 무한하다고 가정하면 identity thm에 의해 모순입니다.

[익명(125.143)]

해집합이 bounded인건 어케 얻은거임??

[익명(125.143)]

아 실수 위에서 보면 그렇게 되네요 ㅇㅋ

[익명(125.143)]

실해석버전 identity thm있는 걸로 아는데, 그거 쓰면 똑같이 풀 수 있을 거 같네요

[330(163.152)]

혹시 링크 걸어주실 수 있나요?

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

해석적 함수에 대해서 Taylor쓰면 될듯한데

[오아이(175.223)]

좀 더 자세한 설명 가능한가요?

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

Weierstrass에 의해 근들의 limit point존재(그리고 이 역시 근) x0라 하면 x0에서의 n계도 함수를 x0근처의 n개의 점의 함수값으로 근사가능(아래 말한것처럼 롤의정리/평균값정리랑 비슷한식으로) limit point라서 거리를 0으로 보낼 수 있고 근사가 =됨(해석적함수라) 그럼 sin의 N계미분 모두가 0이 되는건 불가능하니까 끝

[오아이(175.223)]

자꾸 물어봐서 죄송한데 n개의 함수값으로 근사 가능하다는 말이 잘 이해가 안되네요 ㅠ

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

걍 글 새로팜

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

http://m.dcinside.com/board/math/7443

[AKIRAx(chrislee93)]

일단 해집합이 bounded인건 똑같고, 해가 무한히 많으면 도함수 또한 해가 무한히 많아서(롤의정리) 이거 반복하면 sinx하고 cosx 이 bounded set 안에 해가 무한되어서 모순인듯

[330(163.152)]

아 롤의 정리 계속 때리면 sin or cos의 무한한 해가 바운디드 셋 안에 들어가기 때문이라는 거죠? 음 근데 sin이나 cos의 해가 바운디드 셋 안에서 유한함은 그냥 해의 꼴이 n파이 or (n+1/2)파이 인 걸 이용해서 보여야 하나요?

[AKIRAx(chrislee93)]

그정도는 그냥 써도되지 않을까... 증명하려니 당장은 identity theorem밖에 안떠오르긴하네

[330(163.152)]

감사합니다. identity thm 쓰자니 너무 오바인가 싶어서 ㅋㅋㅋㅋ

[ace(14.39)]

개꿀잼문제네

[익명(175.223)]

포공 16학번 면접기출이었대

[오아이(175.223)]

고등학생은 어케 풀지...

[익명(210.179)]

테일러정리로도 풀수있는데 롤의정리랑 풀이 비슷해

[오아이(175.223)]

테일러론 어케 풀어요?

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

고교과정으로 풀 수 있음. 근들의 집합이 bdd니까 실수를 0.5 pi단위로 끊은 구간들의 유한개 합집합안에 포함되고 얘들안에 무한개의 근이 존재함(만일 근이 무한개라면, 그리고 경계점은 유한개니까) 따라서 이 구간들중 하나에는 무한개의 근이 존재하고 여기서 롤의정리를 n+1번쓰면 다항식의 n+1번미분은 0, sin(cos)은 0이 아니라서 모순

[기괴공학도(mecheng98)]

고등학교 나왔는데 뭔 소린지 모르겠다;; - dc App

[기괴공학도(mecheng98)]

bdd가 뭔지만 알려주면 안 됨? 검색해도 잘 안 나옴;; - dc App

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

bounded

[기괴공학도(mecheng98)]

와우 개쩌네 ㄷㄷ ㄱㅅㄱㅅ - dc App

[기괴공학도(mecheng98)]

그러니까 자연수 k에 대하여 g_k(x) := D^k (f(x) - sin x)이면 롤의 정리와 수학적 귀납법에 의하여 방정식 g_k(x) = 0의 실근이 항상 무한히 많아야 하는데 방정식 g_(n + 1)(x) = 0은 실근을 가지지 않으므로 모순이다는 거임? - dc App

[기괴공학도(mecheng98)]

무한 번 롤의 정리를 적용할 때 무한 개를 둘 씩 짝지어도 무한 개의 순서쌍이 있는 거고 - dc App

[ㅋㅋㄴ(116.37)]

설대 기출에 잇던문제인듯