실수 x가 주어졌을 때 (1)이 성립함을 증명하겠습니다.
1) 임의의 양의 실수 epsilon에 대하여 적절한 두 정수 p와 q가 존재하여 |2 * pi * p + q - x| < epsilon입니다.
증명)
양의 실수 epsilon이 주어졌다고 합시다.
N을 epsilon * i > 1을 만족하는 가장 작은 자연수 i로 둡니다.
그러면 N >= 1입니다.
n을 N 보다 큰 임의의 자연수라 합시다.
정수 p_1 < ... < p_n가 주어졌다고 합시다.
1 이상 n 이하의 자연수 i에 대하여 0 =< 2 * pi * p_i + q_i - x < 1을 만족하는 정수 q_i는 유일하게 존재합니다.
2 * pi는 무리수이므로 집합 { 2 * pi * p_i + q_i - x | 0 < i =< n }의 크기는 n과 같습니다.
그런데 비둘기 집의 원리에 의하여 n 이하의 두 자연수 j > 0와 k > j가 존재하여 0 < (2 * pi * p_k + q_k - x) - (2 * pi * p_j + q_j - x) < 1 / N입니다.
2) 그러므로 어떤 자연수 k가 존재하여 0 =< 2 * pi * p_j + q_j - x - k * (2 * pi * (p_k - p_j) + (q_k - q_j)) < 1 / N입니다.
따라서 두 정수 p와 q가 존재하여 |2 * pi * p + q - x| < epsilon입니다.
3) ns님이 비둘기 집 쓰라고 하셔서 썼습니다. 힌트 감사합니다.
4) (2)가 당연하긴 한데 증명하질 못하겠어요. 도와주세요.

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