X, Y가 위상공간이고 A는 X의 subspace고 p는 A의 limit point고 L은 Y의 원소이고 f: A → Y 라 할 때, f(x) → L as x → p 라는 것을
"For every open neighborhood V of L, there exists an open neighborhood U of p such that f(U ∩ Ω − {p}) ⊆ V."
로 정의하고 싶거든. (https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function#Functions_on_topological_spaces 에 나오는 정의임)
A가 directed set인 경우 A ∪ {infty} 에 relation을 a ≤ b iff ( (a, b are in A and a ≤ b) or (b = infty) ) 로 주면 A ∪ {infty} 는 directed set이 되더라고.
A는 directed set, Y는 위상공간, L은 Y의 원소, f: A → Y 라 할 때, A ∪ {infty} 에 적당한 위상을 줘서 다음 둘이 동치가 되게 할 수 있을까?
1. f를 net으로 봤을 때 L이 f의 극한이다.
2. f(x) → L as x → infty, in topological sense (첫 문단의 정의).
directed set이 cofinal condition 있는거지? 그냥 U_a = x>a가 그럼 basis조건 만족시키니까 그걸로 하면 안됨?
그럼 안되는 거 같아. 예를 들어 자연수 전체의 집합 N에 relation을 a ≤ b for all a, b in N 으로 주면 N이 directed set이 되거든. 이 경우에는 형이 말한 집합이 N ∪ {infty} 의 basis가 안 돼. subbasis로 본다 해도 1은 2를 imply하지만 2는 1을 imply하지 않음.
그게 보통의 자연수 union infty의 topology랑은 다르긴 하다만 쟤는 쟤대로 topological basis 조건 만족할건데? (쟤에다가 모든 자연수 singleton 더해주면 통상적인 basis가 되겠지)
X가 directed set이라 할 때 각 a in X 에 대해 U_a = {x in X : a < x} 라 정의하고, B = {U_a : a in X} ∪ {X} 가 형이 basis가 된다고 한 집합이지? (basis의 union이 전체집합 X를 커버해야 한다는 조건 때문에 X를 넣었음)
ㅇㅇ
a < b 의 정의는 "a ≤ b and a ≠ b" 맞지? 내 예시에서는 ≤ 가 통상적인 order가 아닌데 이 경우 각 n in N 에 대해 U_n = (N - {n}) ∪ {infty} 가 되기 때문에 U_0 ∩ U_1 = (N - {0, 1}) ∪ {infty} 인데, 그러면 2를 포함하면서 U_0 ∩ U_1 에 쏙 들어가는 U_a가 없어. 각 n in N 에 대해 U_n은 구멍이 딱 한 개 뚫려있고, U_infty는 공집합이니까.
자연수의 order를 어떻게 주는데 U0이 N-0이 나와?
a ≤ b for all a, b in N. 그리고 a가 N ∪ {infty} 의 원소이고 b = infty 인 경우 a ≤ b 그 외에는 a ≤ b 가 아님.
아 미안 N을 Z로 생각했다 순간. 2를 포함하면서 U0 U1안에 쏙 들어가는애 =U1인데..
U_1 은 (N - {1}) ∪ {infty} 이야. 왜냐면 1 ≤ 0 이기 때문임.
자연수에는 그냥 자연수 순서 줬다고 했지 않았어?
ㄴㄴ. "a ≤ b for all a, b in N. 그리고 a가 N ∪ {infty} 의 원소이고 b = infty 인 경우 a ≤ b 그 외에는 a ≤ b 가 아님." 이렇게 줬어. 그러니까 모든 자연수 a, b에 대해 그냥 a ≤ b 야.
아 directed set에 a <= b and b <= a implies a = b 가 없었네. 그럼 U_a를 a <= x로 정의할수밖에 없겠네. 저거면 뭐 원래 정의랑 계속 동치가 되니까 문제없을듯
아 그러네 고마워 ㄳㄳ
사실 문제룰 잘못 봤긴 한데.. (f가 A에서 Y로 연속함수일때 1,2가 성립한다 로 봄) 근데 그냥 f가 any function일때 저 둘을 같게 만들고싶다는거?
ㅇㅇ 맞아 그거야
근데 혹시해서 정의 찾아봐도 여전히 저게 안되는 이유를 모르겠는데. (아 물론 찾아보니 x>=a 가 맞는거긴 하더만 대세엔 지장없으니) 저 basis가 그냥 net의 filter랑 같잖아?
아 ≤ 를 < 로 쓴 건가? 그것 때문에 혼동된 듯.
저게 더 맞는 표현이긴 하다만 > 여도 문제는 없는거같은데.. 아까 0, 1이 혹시 N에다 unordered를 부여한거면 0, 1에 cofinal condition이 없기때문에 거기서 나랑 정의가 어긋남.
cofinal condition 이 뭐야? 난 이 정의만 알고 있는데: "If A is a directed set, a subset B of A is called cofinal in A if for each a in A there exists b in B such that a ≤ b" 형이 말하는 게 이건 아닌 거 같은데
어떤 a b를 가져와도 ab보다 큰 어떤 c가 존재한다
크다는 거에 같은 것도 포함 되지? 그 경우 내가 이해하는 directed set에는 항상 confinal condition이 있어.
;; 이게 정녕 [수학] 이란것인가......!!! - dc App
아아... 그렇다...