급수 s_n := sigma k = 1 to n (1 / k!)이 주어졌을 때,
1 이상의 임의의 정수 n에 대하여 (1)이 성립함을 이용하여
1) 0 < e - s_n < 1 / (n! * n).
e가 무리수임을 증명하고자 합니다.
그러면 다음을 만족하는 명제 phi가 존재해야 하나요?
- e가 유리수임을 가정하면 phi가 참이 되게 하는 1 이상의 정수 n을 잡을 수 있다.
- (1)과 phi가 동시에 참이 되게 하는 1 이상의 정수 n을 도입하면 모순을 얻을 수 있다.
- dc official App
pma보는건가
김김계요
김김계는 안봐서 모르겟구 그냥 e=p/q로 가정한거니까 n=q로 잡아버리면,
그러면 phi는 어떻게 생긴 명제일까요?
0<q!(e-s_q)<1/q이리 되는디, q!s_q도 유리수이고, q를 1이상으로 잡으면 모순
감사합니다
q!s_q이거 정수임 잘못씀 ㅎㅎ; 0이랑 1사이에 정수없어서 모순
e가 유리수라고 해보자. 그렇다면 e * n!이 정수가 되는 자연수 n이 존재함. 한편 s_n의 정의로부터 n! * s_n도 정수니까, 결국 (e - s_n) * n!은 정수가 됨.
근데 e - s_n은 0보다 크고 1/(n*n!)보다 작으니까, 정수 (e-s_n)*n!은 0보다 크고 1/n보다 작음. 이런 정수는 존재하지 않지.
아 그렇군요 감사합니다.
phi가 존재해야하는지는 별로 중요하지 않음. (phi를 e는 유리수이다. 로 두면 문제만 맞다면 명제의 존재성은 분명하지.) 그러니까 문제를 어떻게 푸는지를 묻는게 맞음
아 그렇네요 ㅋㅋㅋ 멍청했다