함수 f(x)가 x=a에서 미분가능할때
f'(x)가 x=a에서 항상 연속은 아니라는 것을
반례를 통해서 알게됐는데
혹시 반례를 통해서 보이지않고
저게 성립하지않음을 증멸할수도있나요?
즉,lim x->a- (f(x)-f(a)/(x-a) = lim x->a+ (f(x)-f(a)/(x-a)
라고 해서
lim x->a- f'(x) = lim x->a+ f'(x) = f'(a) 가 성립하는 게아니고
(미분가능하다고 도함수가연속인게 아니고)
lim x->a- (f(x)-f(a)/(x-a) = lim x->a- f'(x)
lim x->a+ (f(x)-f(a)/(x-a) = lim x->a+ f'(x)
가 성립하지않음을
(좌미분계수와 도함수의좌극한,우미분계수와 도함수의 우극한은 상관이없음을)
반례를 통하여 제시하지 않고도 증명할 수 있나요?
- dc official App
생각해보니 도함수가 연속함수일때는 항상 저식이 성립하네요 도함수가 불연속일때만 저게성립안한다는걸 보이면되나요? 그럼 미분가능해도 도함수가 불연속일 수 있다는걸 특별한 예를 제시하지않고도 증명할 수 있는지가 궁금하네요 - dc App
만약 가능하다면 제일 만만한 방향은 Baire category 정도가 아닐까
아니면 확률론 같은 걸 쓰거나...근데 이렇게 반례가 뻔히 잡히는 문제에 쓰기에는 좀 일이 많음(빈대 잡으려고 초가상간 태우는 격)
앞에 두줄은 nowhere differentiable function이라던지 미방에서 해가 없는 경우를 제시한다든지 할 때 쓰이는 개념
명제가 거짓인 걸 보일 때는 웬만하면 반례를 쓰지 않고는 보일 방법이 없지
일단 정의가 주어지면, 그 정의가 어디에 들어맞고 어디에 틀리는지를 알아내기 위해 여러 명제를 막 만들어봄. 그래 놓고 안되는게 있고, 그게 정의의 핵심적 성질로 다시 정의되고 좀더 일반적으로 정의를 내릴 수 있으면 그걸로 다시 정의를 내리는 식이기 때문에 반례를 통해 명제가 틀렸다는것을 보이는게 자연스러운 흐름인듯.