[일반] 이거 어떻게 해야 할까?(수정)

[330(163.152)]

fundamental thm of finitely generated abelian groups이용해서 ZxZ/<(n,n)>을 decompose해라

이거 decompose 하는 거 걍 단순한 계산으로 되는데 저 정리 이용해선 어떻게 해야 하냐

[겨울_(silhouet72)]

mod 뒤에 잘렸는데

[330(163.152)]

ㅈㅅㅈㅅ 수정함

[겨울_(silhouet72)]

일단 저 group이 finite은 아니니까 decompose하면 Z가 적어도 하나는 나오겠고, <(n, n)>이 nontrivial이니까 Z는 딱 하나 나옴. 그래서 Z_d×Z로 decompose하면 order n인 원소가 있으니 d가 n의 배수인데, 또 n보다 큰 order을 갖는 원소가 없음을 보일 수 있으니 d=n.이 정도면 될 거 같음

[330(110.70)]

음... 일단 ㄱㅅㄱㅅ 근데 걸리는 부분이 있음. Z가 2개 이상 나온다고 하면 무조건 <(n,n)>이 tirivial이어야 하는지 잘 인해가 안됨... 만약 2개 이상 나온다고 하면 Z×Z/<n,n> 이 Z^2 x H for some group H 인 것인데 nontrivial 이어도 무한집합 이니까 어떻게 잘 조작하면 iso를 만들 수 있지 않을까?

[겨울_(silhouet72)]

댓글을 다시 보니까 풀이를 너무 넘기면서 쓴 거 같네.. 밑댓처럼 abelian gp.을 Z-module로 보고 적당히 하면 decomposition이 Z_d×Z 꼴일 수 밖에 없다고 보장할 수 있긴 한데 좀 지나친 거 같기도 하고..

[겨울_(silhouet72)]

보완해서 이렇게 해야겠다. 우선 Z_d1×...×Z_dk×Z×...×Z로 decompose하자. (단, d1|d2|...) 그러면 dk=n까지는 거의 그대로 할 수 있는데, 원래의 gp.에서 finite order r을 가지는 원소는 Z_n에서 order r을 갖는 m에 대해 (m, m)의 coset 뿐이니까 각 finite order를 갖는 원소들이

[겨울_(silhouet72)]

Z_n의 원소들이랑 1-1을 이룸. 그래서 finite order인 원소의 개수를 비교하면 k=1. 이제 Betty number가 1임을 보여야 하는데, 주어진 gp.을 G라 하면 방금 decomposition에 의해 nG는 nZ×...×nZ, 다시 써서 Z×...×Z랑 iso.가 됨. 그런데 nG의 원소들은 (na, 0)의 coset들을 모아놓은 집합이니

[겨울_(silhouet72)]

nZ랑 iso.하고, 그래서 decomposition의 uniqueness에 의해 Z가 decomposition에서 딱 1번 나와야 함. 그래서 G랑 Z_n×Z랑 iso. 좀 억지스럽게 푼 감도 있긴 한데..

[330(211.38)]

멍청한 저의 수준에 입각해 친절히 설명해 주셔서 정말 감사합니다... 근데 r은 걍 아무거나 하나 찝어서 해도 되는거지?? 그리고 뭔 생각으로 이 문제를 냈을까... ㅠㅠ 억지스럽게 정리를 이용해서 문제를 푸는 느낌이 강한데... 어떻게든 저 정리를 이용하게 하고 싶었나?

[겨울_(silhouet72)]

ㅇㅇ finite order인 원소(Z-module로 보면 torsion elements)들이 딱 n개 있으니 decomposition에서 Z_di들이 Z_n 하나 빼고 다 사라져야 하니까.

[겨울_(silhouet72)]

답을 아는 상태에서 풀이를 대충 끼우려니까 처음에 무의식적으로 이것저것 많이 스킵한 꼴이 됐는데 밑댓 보니까 이거 때문에 많이 헷갈려 한거 같다 미안합니다 흑흑

[330(211.38)]

Torsion 이런 부분은 모듈 쪽 공부해야 나오는거지? 나 작년에 대수 공부할 때 그 부분은 안배워서 ㅠ

[겨울_(silhouet72)]

ㅇㅇ module쪽 배우면 나옴

[330(211.38)]

ㄱㅅㄱㅅ 설대 셤 보고 틈틈이 공부해야겠다... ㅠㅠ

[ns(qwer2357)]

뭐 [n , n]을 행렬꼴로 쓰고 저게 row operation으로 [n, 0] 이 되고 Z x Z / nZ x Z = Zn x Z가 된다, isomorphism을 역산하면 x, y 를 x, x+y로 보내는 map이 isomorphism을 유도한다.. 를 원했던거 아닐까? 싶긴 한데

[330(110.70)]

나는 Z x Z 에서 Z_n x Z 로 가는 구체적인 homomorphism을 떠올리고 first iso thm 을 이용해서 했음...

[ns(qwer2357)]

문제만 풀라고 하면 물론 그게 젤 빠르지

[330(163.152)]

나 지금 막힌 부분 있는데 G/N = G x H 이면 N과 H 모두 trivial이야?? 당연한 거 같은데 증명이 안되네

[ns(qwer2357)]

그럴리가. G를 Z 무한번 곱한애, N H가 모두 Z랑 같은애라고 하변 G/N GxH 모두 G랑 동형임. 물론 finitely generated abelian group 한정하면 classification theorem때문에 되겠지. 증명은 rank 랑 torsion 나눠서 따져주면 됨.

[330(110.70)]

내가 아직 대수는 많이 안배워서 그런데... finitely gen abelian group 경우에 classification thm이 뭔지 모르겠어 ㅠㅠ

[ns(qwer2357)]

너가 적은 그거. fg abelian group은 free part와 torsion part로 나뉜다. 덤으로 free part는 subgroup도 free다. free part의 rank는 isomorphism에 의해 불변한다, torsion part는 배수약수로 쪼개거나 소인수분해해서 쪼갤 수 있다 등등

[ns(qwer2357)]

N은 G의 subgroup이니까 역시 free와 torsion으로 나눠지고, G/N은 free 끼리 나눈거 x torsion 끼리 나눈거. 가 되는데, N의 free part가 0이 아니면 G/N의 rank가 G rank보다 작아서 왼쪽 오른쪽의 rank가 안맞음. (증명은 책에있는대로)

[ns(qwer2357)]

비슷하게 H의 free파트도 있을수 없고 G/N의 torsion과 G torsion/N 이 같고 그건 Gtorsion x H와 같은데, fg abelian group의 torsion은 유한이라 양쪽 원소수 비교해보먄 N H가 모두 0임을 암

[330(163.152)]

내가 아직 모듈 부분은 안봐서 잘 모르겠지만 G N H를 모두 decompose 한 다음에 양쪽의 decompse 된 꼴을 비교하면 N과 H의 원소수가 1일 수 밖에 없다는 거지? decompose는 up to isomorphic 유일하고

[ns(qwer2357)]

만약 G = H라면 G free = H free이고 G tor = H tor이다. G 가 fg이면 G tor은 유한집합이다. 를 쓰는거..

[330(163.152)]

하... 좀 더 공부해볼게 고마워 ㅠ 암튼 그럼 위에서 겨울이 해준 풀이를 따라가면 Z x Z/<n> = Z x Z_n1 x Z_n2 X ... X Znk 로 decompose 가능한데 여기서 k는 왜 1일까??

[ns(qwer2357)]

그야 k=1일 필요가 없으니까.. 알수 있는건 0 x Z/n 이 왼쪽의 torsion part고 0 x Z/ n1 x... Z/ nk 는 오른쪽의 torsion part고. 예를들어 n=6이고 n1 n2가 2, 3인건 가능하지. 저게 유일하게 되려면 n1이 n2를 나누고, n2가 n3를 나누고.. 등의 추가조건이 있어야 그게 유일한거

[330(163.152)]

아 미안 그 조건이 있다는 가정하에 k=1이라는 건데 왼쪽의 torsion을 어떻게 바로 구함??

[ns(qwer2357)]

torsion의 정의가 k g = 0 for some k잖아? 첫번째 entry가 0이 아니면 k배해서 0이 나올수가 없지.

[330(163.152)]

하... 대수 너무 어렵다... 고마워 ㅠㅠㅠㅠ 더 공부할게

[ns(qwer2357)]

그 가정하에 저게 유일한건 소인수분해해해서 p part 세면 왼쪽엔 p part가 한개나오고 오른쪽엔 k개 나와.. p part는 Z/p^e Z 꼴 part고 서로 다른 p part끼리도 쪼개진단거 나오고 p part 개수는 G / p^r G의 원소수를 r 바꿔가면서 세서 알아낼 수 있음.. 근데 이 긴 과정이 그냥 책에 다 몇페이지 걸텨서 다 증명하고 있

[ns(qwer2357)]

그 fundamental theorem of fg abelian group 증명이 뭔가 길긴 한데 너가 하는 그 질문을 하나씩 다 차근차근 증명하는거라.. 다 읽어보면 다 나와...

[330(163.152)]

고마워 증명 찬찬히 읽어볼겡

[ㅋㅋㄴ(116.37)]

generator들이 만족하는 relation들생각해봄?

[ㅋㅋㄴ(116.37)]

참고로 ZxZ/<(n,m)>=ZxZ_d 항상 성립함 여기서 d=gcd(m,n)

[330(163.152)]

Z x Z_n1 x Z_n2 X ... X Znk 에서 generator 말하는 거야?