임의의 양수 e에 대해서
1)lim_{x rightarrow infty}
frac{f(x)logx}{x^{1-e}}이 발산하고
2)lim_{x rightarrow infty}
frac{f(x)logx}{x^{1+e}}=0이고
3)0<f(x)<4*(x/logx)이고
4)x≤y일때 f(x)≤f(y)라면
lim_{x rightarrow infty}
frac{f(x)logx}{x}는 수렴함?
반례가 있다면 반례을 찾아주고
없다면 증명할 때 위 네가지 조건중 안쓰이는걸 찾아주셈ㅜㅜ
이정도 조건이면 반례 안나올거같은데
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우선 3이 2를 imply하고 x/log x가 좀 쓸데없이 미분이 생겨서 그냥 개략적인 스케치만 하면, u가 2^k에서 2^k+1 사이에 있을때 k가 홀수면 1/log u, 짝수면 2/log u를 가지는 함수 h를 잡고, h를 3에서 x까지 적분한걸 f로 두면 말한 조건들을 다 근사적으로(충분히 큰 x들에 대해) 만족시킴.
어우 내일 학교가서 확인해볼게요 암튼 ㄱㅅㄱㅅ 천재횽아 - dc App
이게 반례라는 거에요? - dc App
ㅇㅇ 그냥 별건 아니고 어떤 함수의 적분꼴이면서 진동하게 해주면 됨
그리고 동시에 dyadic interval로 잘라놔서 뒷부분의 영향이 커서 limsup=2, liminf=1이 나옴. 4는 도함수가 양수니 당연히 되고 3은 부분적분해서 근사식으로 성립함을 쉽게 확인가능.
대체 어떤 조건을 더 추가해야할까요ㅜㅜ - dc App
이런 식의 속도 비교로 조건을 주렁주렁 달아봤자 정말 강력해서 자명하게 결과가 따라오는 정도의 조건 없이는 원하는 결론을 얻기 힘들걸.. 예를 들어 3번에선 아예 극한을 구하려는 함수의 bound를 정해놓기까지 했는데도 진동하는 경우가 생기잖음
진동할까봐 증가함수까지 달았는데 생기는걸 보면 굉장히 강한 조건을 걸어야하겟는데 제 머리론 잘 생각이 안나네요 좀 더 노오력을 해야죠 머 - dc App