[일반] 해석학 역함수 전사여부 증명 질문이요

[scienti..(14.47)]

Bartle 해석학 공부하면서 예제 풀고 있는데 지금 마지막 줄 증명(show surjective)을 어떻게 해야할 지 모르겠습니다. 혹시 힌트가 있나요? 그리고 혹시 injective임을 보이는 부분에 문제가 있나요?

[뽈펜(ieieiei)]

전사임을 보일 때는 a in A를 고정시킨 다음에 f^{-1}(b) = a 인 b in B 가 있음을 보이면 됨. 그러기 위해 b = f(a)로 잡으면 됨. 단사임을 보이는 건 틀리진 않은 거 같은데 너무 복잡하게 하는 듯. 그냥 식 조작만 하면 되는데 쓸데없이 그래프를 떠올리는 거 같음. "f^(-1)(y) = f^(-1)(w) 이면 f(f^(-1)(y)) = f(f^(-1)(w)) 니까 y = w 이다" 라고 증명하는 게 더 깔끔할 듯.

[scientist734(14.47)]

그럼 injective 보이는 것에 대해서는 위에 쓴거에서 ,meaning부터 so 이전까지 지우면 좀 나을까요?

[뽈펜(ieieiei)]

그걸 지우면 다 지우는 거나 마찬가지라 좀 그런데.. 어쨌든 함수 f: X to Y 가 단사임을 보이는 전형적인 방법은 f(x1) = f(x2) 인 X의 원소 x1, x2 를 고정한 다음 x1 = x2 임을 증명하는 거고

[뽈펜(ieieiei)]

전사임을 보이는 전형적인 방법은 Y의 원소 y를 고정한 다음 f(x) = y 인 X의 원소 x가 존재함을 증명하는 거임

[Rafle(probaroque)]

함수, injective, surjective 같은걸 고등학교 방식으로, 혹은 단순히 정의만 이해하고 있는거 같아. graph랑 vertical line이 풀이에 나와야 할 이유가 전혀 없는데.. f의 역함수를 g라고 쓰면 injective는 그냥 g(w) = g(v) = a in A라고 하면 f(a) = w = v라서 1대1이고 (굳이 저렇게 돌아갈 필요가 있나?) 임의의 a in A에 대해서 f(a) = x라고 하면 g(x) = a니까 surjective잖아.

[scientist734(14.47)]

혹시 함수f 정의가 정의역의 모든 x에 대해서 y=f(x)인 unique한 y가 존재한다, 라서 f-1이 그냥 surjective인건가요?

[Rafle(probaroque)]

이 성질을 증명하는데 어떤 성질을 썼냐? 라고 물어보면 그렇게 되겠지. f의 역함수가 잘 정의되느냐, 부분에서 bijective가 쓰이고 injective, surjective는 f가 잘 정의된 함수이기만 하면 바로 튀어나오니까.

[익명(125.134)]

본풀이는 R to R 에서만 통하는듯