내적이 정의된 R^n 공간에서 길이와 각을 대수적으로 정의하고
(길이는 sqrt(시그마(성분)^2), pi=integral(from -1 to 1)1/sqrt(1-x^2) , 각(x)를 pi/2-integral(from 0 to x)1/sqrt(1-t^2) (-1<=x<=1)라 하고 cosx를 각^-1(x)(0<=x<pi)와 각^-1(2pi-x)(pi<=x<2pi)를 이어붙인 함수의 2pi 주기함수로 해서 삼각함수를 정의, 두 벡터가 이루는 각=각(A•B/|A||B|)로 정의)
직선(P+tU), 평면(N•(X-P)=0), 구(|X-P|=r), 곡선(f:R->R^n), 곡면(f:R^2->R^n)등을 대수적으로 다뤄서 중고등학교 때 배웠던 기하학과 동등한 구조를 만들 수 있나요? 현대수학에서 기하학은 공리적인 방식에서 논증기하적으로 다루는지 아니면 위처럼 선형대수적 접근인지 그것도 아니라면 다른 방법이 있는지 궁금합니다.
(길이는 sqrt(시그마(성분)^2), pi=integral(from -1 to 1)1/sqrt(1-x^2) , 각(x)를 pi/2-integral(from 0 to x)1/sqrt(1-t^2) (-1<=x<=1)라 하고 cosx를 각^-1(x)(0<=x<pi)와 각^-1(2pi-x)(pi<=x<2pi)를 이어붙인 함수의 2pi 주기함수로 해서 삼각함수를 정의, 두 벡터가 이루는 각=각(A•B/|A||B|)로 정의)
직선(P+tU), 평면(N•(X-P)=0), 구(|X-P|=r), 곡선(f:R->R^n), 곡면(f:R^2->R^n)등을 대수적으로 다뤄서 중고등학교 때 배웠던 기하학과 동등한 구조를 만들 수 있나요? 현대수학에서 기하학은 공리적인 방식에서 논증기하적으로 다루는지 아니면 위처럼 선형대수적 접근인지 그것도 아니라면 다른 방법이 있는지 궁금합니다.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Constructible_number
난 기하학 거의 안 배워서 이거 답변할 수준은 안 되는데 걍 링크 하나 올린 댓글 말고는 답변이 없어서 써봄. 수학 분야 대부분의 공리계는 집합론의 공리계(ZFC)이고 고등학교 해석기하, 현대 기하학 모두(라기보다는 내가 아는 한) ZFC 위에 세워져 있음. 논증기하의 공리계는 알다시피 ZFC가 아님. 즉, 현대 기하학도 수학이니까 공리계 위에 세워져 있지만 논증기하와는 다른 공리계임. 또 현대 기하학은 논증기하에서 한 단계 한 단계 추론할 때 드는 그 느낌은 안 들 거임.
현대 기하학에는 미분기하, 대수기하 등이 있는 거 같음. 수학에서 흔히 하는 게 집합이랑 그 집합과 관련된 정보를 묶어서 세트로 생각하는 거임. R^n에 덧셈, 실수배, 내적이라는 정보를 묶어서 세트로 다루는 것도 하나의 예임. 대수기하에서는 집합 X, 위상(X의 부분집합 중 일부를 모은 집합), sheaf(설명하기 복잡함)를 묶어서 세트로 다루고, X는 보통 R^n과 매우 다른 집합임. 학부 미분기하에서는 R^3의 곡선과 곡면을 다루긴 함. 이것보다 일반적인 이론이 있는 듯한데 나는 모르겠음.
중고등학교 기하학과 동등한 구조를 만들 수 있냐고 물었는데, 너가 글에 쓴 것처럼 잘 정의해서 중고등학교 기하학을 모두 커버하게 만들 수는 있겠지만, 주류 현대 기하학은 그보다 훨씬 일반적이거나 관심사가 매우 다른 듯함.
ㄷㄷ 답변 감사함니다 이런 답변을 원했어요