[일반] 극한 성질 질문있

[익명(61.80)]

함수 f,g:X->R((X,d)는 metric space, R은 euclidean space)이라 할때 극한 성질 증명하는건 일변수 극한 증명하는거랑 똑같지?

또, x가 무한대로 갈때는 정의가 어떻게되냐? 이것도 일변수때랑 비슷함? 걍 극한 관련된건 다 일변수쪽에서 정의한거랑 비슷한가

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[ns(qwer2357)]

극한 성질 증명하는게 덧셈 뺄셈 같은거 말하는거면 X가 topological group/ring 등이라서 연산에 연속가정 걸어야 될거고, 무한대는 X의 compactification을 어떻게 잡냐 따라 달린문제

[ns(qwer2357)]

예를들면 R에선 보통 extended real을 +inf와 -inf의 두개의 점을 추가한 compactification을 쓰니까 그 확장된 공간에서의 극한으로 보는거고 C에선 보통 Riemann sphere쓰니까 one point compactification 쓰는건데, 만약 예를들어 평면이 있다 치고 compactificarion을

[익명(61.80)]

야 잠만 나 아직 그런거 몰라 위상 지금 컴팩트도 못봄 - dc App

[ns(qwer2357)]

projective plane P2로 잡으면 극한이 다 특정한 직선을 따라 무한대로 가는 극한으로 정의하겠지. 통상적으로 X가 loc.compact이고 not compact인데 별말 없이 무한대로 간다고 썼으면 아마 one point compactification을 염두해두고 썼을거 같지만 왠만하면 말해줘야함

[익명(61.80)]

쉬,,,발,,,,,위상 공부하러감,,, - dc App

[ns(qwer2357)]

간단히 보면 X가 R이었다 치면 R이랑 (0,1)은 같은 위상공간이잖아? 그걸 한점을 추가해서 동그랗게 말아서 원을 만들면 one point compactification이고 양 끝에 0, 1을 추가하면 다른 compactification이 되는데, 후자의 경우 0을 -무한대, 1을 +무한대로 생각하고 적당한 위상을 준걸로 확장된 실수 [-무한대,무한대]를

[ns(qwer2357)]

정의하고, 그 위상공간에서 극한을 x가 무한대로 갈때 lim f(x), -무한대로 갈때 lim f(x) 등으로 정의하면 됨.

[ns(qwer2357)]

compactification의 방법은 너무 많지만 적당한 가정 하에 보통 한점만 밖에다 빼놓고 모든 unbounded스러운건 다 그 극한으로 통한다고 하는 방법이 있는데 그걸 one point compactification이라고 함. 그럼 무한대로 갈때 극한은 역시 그 점으로 수렴할때의 극한으로 서술할 수 있어. 자세한건 책을 참고

[익명(61.80)]

너가 알려준건 존나 일반화시켜서 한거냐 뭐냐 나는 그냥 거리공간에서 다루는걸 물었는데 알아야할게 너무많네 - dc App

[ns(qwer2357)]

존나 일반화한건 아니고 정말 딱 거리만 있는 공간이면 삼각부등식만 하나 달랑 있는거라 그거만 가지곤 거의 암것도 얘기가 안되거든. 너 질문을 보면 1. 1변수함수의 극한의 성질(해석학서 배운거)랑 2. 무한대로 보내는거의 정의 두개로 보이는데

[ns(qwer2357)]

2번에서 X에서 무한대로 갈때.. 라는 개념이 성립하려면 일단 쉽게 unbounded인거? 로 정의를 해보고 싶은데 알다시피 모든 metric d에 대해 f(x,y) = min(d(x,y), 1) 을 주면 f도 metric이 되서 다 bounded가 되어버린단 말이지

[익명(61.80)]

아 그럼 그냥 거리공간으로 확장하지말고 R^n일때는 간단함? 아님 거기서 거긴가 - dc App

[ns(qwer2357)]

그래서 그렇게는 정의를 못하고, 기존에 실수에서 무한대로 갈때, -무한대로 갈때, 복소평면에서 무한대로 갈때.. 라고 말하는 것들에 해당하는게 위상에서 뭐냐? 물으면 compactification을 한 뒤 그 공간에서의 극한으로 보통 생각한다는거야

[익명(61.80)]

그냥 위상 공부 더 해야겠다.. - dc App

[ns(qwer2357)]

첫번째건 잠깐 착각했는데 공역인 R에서 덧셈뺄셈이 다 가능하니 증명은 문제없이 똑같이 가능할거 같다. 나눗셈 할때 그 점 근방에서 0이 안된다 정도만 정의에다 넣어주고.

[익명(61.80)]

그니까 X->R에서는 x가 무한대일때만 문제가 생긴단거지? - dc App

[ns(qwer2357)]

R^n의 보통 metric은 그냥 똑같이 정의하면 됨. 근데 무한대를 어떻게 정의하고 있는지는 말해주는게 좋음 (그게 위상 배우먄 one point compactification이 됨)

[ns(qwer2357)]

ㅇㅇ x가 무한대로 간다. 를 너가 정의하거나 사람들이 정의를 해뒀거나 따로 얘기를 해줘야하는거고 거리위상으로부터 바로 유도될수있는 정의는 아님. 그걸 정의하기위해선 몇개 가정 더 넣어서 할수는 있다는 얘기를 했던거였음

[익명(61.80)]

여태 질문에 답변해준놈들 중에서 너가 원탑이다 알려줘서 땡큐 - dc App

[익명(175.203)]

그건 님이 거리공간에서 무한으로 가는건 어떻게 하느냐고 물어보았기 때문임. 일반적인 거리공간에서 무한에 있는 점을 어떻게 정의할래. compactification을 생각하는게 자연스럽지

[익명(61.80)]

답글에다 그 개념은 모른다고 말했음 - dc App

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[ExHentai.org(nsa15464)]

아 이거 생각보다 복잡한 문제였네 위상없이는 암것도 몬하겠구마..

[익명(61.80)]

갓ㅡㅡㅡ상 - dc App