일반적으로 위상수학에서 f가 연속사상일 필충조건은 정의역의 모든 점에서 연속인것이고
f가 한점일때의 연속이 따로정의되어있는거로 알고있습니다

1. 정의역의 부분집합인 A에서의 연속을 따로 정의하는법이 있나요?
해석학에서는 A의 각 원소 x에 대해 f가 x에서 연속이면 A에서 연속인것이 필요충분조건인걸로 알고있는데
위상에서는 어떻게 정의하는지 궁금해요.

2. f라는 함수를 정의역이 실수전체인 함수라하고
f(x) = 1 , when x in [0,1]
           0 , otherwise
로 정의하면 f는 [0,1] 에서 불연속이고 (0,1)에서 연속입니다(해석학)
(이건 맞는거로알고있습니다)

3. 2번의 함수를 R상의 보통위상에서 R상의 보통위상으로의 함수로
본다면 f는 [0,1]에서 연속이고 f는 x=0에서 불연속이다.
이 말은 맞는말인가요?(즉 해석학하고 위상하고 다른답이 나올수 있는건가요?) 만약 틀린말이라면 옳은답 알려주시면 감사하겠습니다.


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