09개정 교육과정 기준 비상교육 미적분 교과서임

f(x)가 x=a에서의 연속을 세 가지 조건

1. x=a에서 정의되어 있고

2. 극한값이 존재하고

3. 극한값과 함숫값이 같다

이렇게 정의를 함

따라서 이 기준에 의하면 아래 예제1.(2)의 g(x)=(x^2+1)/(x-1) 은 x=1에서의 연속성을 따질때 조건 1을 만족하지 않으므로 불연속이 맞음.





이번에도 09개정 기준 두산동아 미적분 교과서임

마찬가지로 x=a에서의 연속을 세 가지 조건

1. x=a에서 정의되어 있고

2. 극한값이 존재하고

3. 극한값과 함숫값이 같아야함

역시 이 기준에 의하면 맨 아래 문제1.(2). f(x)= -1/(x-2)는 x=2에서 정의되지 않으므로 연속의 조건 1을 만족하지 않아서 불연속이 맞음.



여기에 있는 사람들은 대부분 전공생이기 때문에 위와같은 교과서의 서술에 대해 띠용할것이다.

위 기준에 따르면 f(x)=sqrt(x)는 x=0에서 불연속이 되고, g:{0,1}→{1}, g(0)=g(1)=1같은 함수도 모두 불연속이 되기 때문이다.

f(x)의 경우 (고등학교에서의 극한의 정의에 따르면) 좌극한과 우극한이 모두 존재하고, 그 값이 같을 때 극한값이 존재한다고 정의하는데

sqrt(x)는 x=0에서 (고등학교 기준으로는) 좌극한이 존재하지 않기 때문에 x=0에서의 극한값이 존재하지 않아서 연속의 정의 2를 만족하지 않기 때문이다.

마찬가지로 g의 경우는 대학교에서는 고립점에서 ε-δ를 바탕으로 한 연속의 정의에 의하면 x=0에서 자명하게 연속이지만

고등학교에서는 역시 x=0에서의 극한을 생각해보면...

극한을 '가까워진다'라는 직관적인 이미지를 통해 도입하는 고등학교 수준에서는 x=0에서의 극한은 생각할 수 없는게 자연스럽다.

따라서 마찬가지로 g가 x=0에서 연속이냐고 물어보는 것은 고등학생에게는 무의미해 보인다.


위처럼 고등학교 교과서는 전공서적과 비교했을 때 내용상 많은 차이가 있는데

그럼 왜 교과서에는 저따구로 서술을 해 놓았을까?

왜 틀린 지식을 학생들에게 가르치고 있는것일까?







왜냐하면 어렵기 때문이다...

위는 [연속함수에 대한 고등학교 교과서의 정의와 고등학생들의 이해]라는 논문에 있는것인데, 아무튼 어려워서라고 한다.

물론 이 논문의 결론 및 제언에서는 고등학교에서도 대학교 정의와 비슷하게, 정의역의 점을 대상으로 연속성을 정의해야한다고 하고 있다.



학부따리의 사족으로 그냥 개인적인 생각을 말해보면

고딩 미적분의 목표는 엄-밀함 보다는 유용성을 인식하게 하고 활용하는데에 초점을 맞추고 있다고 봄. 그래야 한다고 생각하기도 하고..

그리고 원래 저거 말고도 중/고등학교에는 전공지식이랑 비교하면 틀린거 좀 더 있을거임.


수학교육론 단골소재인 오일러 다면체정리 v-e+f=2 이것도 지금은 교육과정에서 빠져서 상관없긴 하지만... 암튼 나 중1땐 저게 있었는데

교과서에선 '다면체에서 v-e+f=2가 성립한다.'라고 하고 있지만, '다면체'가 무엇인지 정확하게 정의하지 않으면 저건 틀리잖음. (궁금하면 구글에 '라카토123스 증명과 반박' 검색해보셈 책내용 그대로 나올듯..) 근데 중학교에서 입체도형 다룰때 다면체의 엄밀한 정의를 하려는게 목적이 아니고, 그냥 저런게 성립한다는걸 아는게 목표...였던거고..? 사실 저거 왜 배운진 모르겠음..ㅋ

다각형 대각선 개수나 외각의 합 같은것도 볼록다각형에서만 성립하는건데 그냥 '다각형'이라고 뭉뚱그려서 넘어가다보니까 만약에 학생이 별모양이나 화살표모양같은거 가져오면 이제 '사실은 우리가 다각형이라고 배우는건 볼록다각형을 말하는건데, 볼록이라는ㄱ ㅔ뭐냐면...' 이러면서 볼록을 설명하려다 보면 또 원래 하려던 목표에서 벗어나게 되잖음.

또 음수개념도 원래는 Hankel인가? 누가 몇백년 전에서야 형식적으로 정의를 해서 비로소 받아들여지게 되고, 그래서 고1때도 '덧셈에 대한 역원'으로써 음수를 다시 한번 정의하긴 했었는데 이것도 09개정인가? 되면서 빠졌고. 중학교에서는 그래서 셈돌이나 수직선모델, 우체부모델, 귀납적외삽법 등으로 현실적 소재를 활용해서 직관적으로 도입하잖음. 사실 음수는 그냥 그냥 덧셈에 대한 역원일 뿐인데.


결론은 학교수학에서는 학문수학의 엄-밀함 보다는, 현실적 맥락을 바탕으로 학생들이 이해하기 용이한 방법을 많이 사용한다는거임. (엄-밀함을 가르치려는 시도는 '새수학 운동' 또는 '수학교육 현대화 운동'을 검색하면 관련된 내용을 볼 수 있음)

생각해보면 여기 사람들같이 수학 전공생들은 중고등학교 수학 ㅈ밥이겠지만, 학교다닐때 생각해보면 수학 잘하는 애들이나 좋아하는애들 얼마나 있었음..

10대의 지능 수준 생각하면 그냥 교과서 수준을 저렇게 하는게 애들 수준에 맞아서 저렇게 하지 않았을까? 라고 생각함.

뭐 석사 박사 하신분들이 열심히 쓰셨으니까 나름 이유가 있겠지

학부따리가 뭘 알겠음 ㅎㅎ


물론 전공생 입장에서 불-편한건 알겠지만 난 그냥 나름의 이유가 있어서 그랬을거라 생각함... 그러니까 그만싸우고 전공공부나 하자구