내가 수치해석을 전혀 몰라서. 사실 이게 수치해석 토픽인지도 모르겠넹. 내 머리속에선 오차추정은 다 수치해석임.
만약 n계도함수가 유계면 뭐 당연히 나머지의 유계도 잡을 수 있음. 근데 그렇지 않은 경우에 나머지항 추정 못함?
사실 이 생각을 하게 된 이유는 모든 실수에 대해 테일러가 수렴하는 analytic function인데도 불구하고 나머지항이 O(x^((1/n)+ε)) (1>k>0) 뭐 이렇게 주어져서
주어진 ε에 대해 |f(x)-P_n (x)| < ε 를 만족하는 interval 의 길이가 n이 증가함에 따라 아주 천천히 늘어나는 함수를 찾아보고 싶었음.
질문에서 여러곳이 명확하지가 않아서. 우선 실수에서 모두 해석적이다(테일러전개 가능하다)고 해서 수렴반경이 무한대가 아님. (대표적으로 tanh x) 그니까 테일러전개 가능해도 Given e에 대해 어떤 큰 n을 잡아와도 Pn과 f의 차이가 e보다 직은 구간이 전혀 안늘어날수도 있음.
두번째로 식에서 O(x^1/n) 이라고 적은건 x가 늘어남에 따라 엄청 느리게 증가해서.. 라는 의미로 적었을거 같은데, 저 big O안에 들어가는 숫자가 absolute가 아니라 보통 n에 의존하는 값이고, 테일로 전개가 가능하다는말이 n을 무한대로 보내면 어쨌든 에러가 0으로 가야한단 소린데 보통의 함수는 x랑 n이 같이다님
무슨말이냐면 보통은 exp x같이 x^n /n! 이라던가.. 저런식으로 에러가 잡히고, x^1/n을 작다라는 감각으로 말한거같은데 사실 x^1/n이 엄청 큰거로 보임...
f와 Pn이 가까워지는 정도를 n에 대해 느리게 증가하게 하고싶으면 함수f 자체를 다항함수로부터 멀어지게 만들면 됨. e^x만 해도 괜찮고 그거보다 더 느리게 보내고싶으면 e^e^x 나 e^e^e^x 뭐 이런거 쓰면 다항함수보다 너무 빨리 원함수가 증가해서 저 구간이 길어질수가 없음. 거꾸로 원함수를 앗싸리 제한하는것도 방법이고 (sin(괴상)같이)
그럼 본문 내용을 빼고, 테일러 정리의 나머지항 추정을 빡세게 하고싶다는건, 사실 직접 계산을 안해봐서 그랬을 확률이 높음. 테일러급수는 보통 엄청빨리. 진짜 수렴반경 끝에서 수렴하는 -ln(1-x)를 x=-1에서 보고싶어 한다거나 하는 그런 경우 말고, 수렴반경 안쪽에서는 진짜 빨리 수렴함. n항에 대한 지수적으로 수렴하니까
x^n이 있다고 느리다고 생각하면 안되고 그 아래 n^n 정도 급의 뭐가 있을거라고 생각해야함. 실제로 수렴반경이란게 limsup |an|^1/n의 역수라서, 이상하게 만든 함수 아니면 저게 그냥 liminf랑도 같았다 치면 수렴반경 R일때 n차 테일러 급수 잡았으면 0.99R 보다 작은곳에선 거의 0.99^n 정도 오차가 나는거임
그러니까 수렴반경의 확실한 내부에선 통상적인 테일러 정리가 거의 늘 되고 수렴반경이 무한대면 더 확실히 되고 그럼. 까다로워 지는 경우는 수렴반경에 점점 근접하도록 |x|<=A라고 할때 A를 n에 대한 함수로 같이 움직일때가 문젠데, 그건 A를 수렴반경에 아예 붙여버리면 반드시 등호가 깨지기땜에 언제나 성립하는걸 만들수가 없음.
예를 들면 - ln (1-x) 의 급수를 |x|<=0.99에서 전개하는건 여전히 빠른데 |x|<= 1-e^-n 에서 Pn이랑 원함수가 가깝길 바라는건 무리. 왜냐면 ln 2쪽이 문제가 아니라 ln(0) 쪽이 무한대로 날아버려서 다항함수랑 근사하는게 불가능하기 때문 (수렴반경위의 어떤 한점에선 복소함수로서 반드시 함수가 저렇게 튀게 돼있어서 붗가능)