[일반] 복소공간 질문

[익명(211.229)]

저기 문제 5.2.4에서의 C^n이 거리공간임을 보이려고하는데 다른 조건은 보였는데 삼각부등식을 보이는거에서 막힘; 이거 어떻게 보여야함?

- dc official App

[뽈펜(ieieiei)]

저기서 정의한 크기가 norm이기만 하면, d(a, b) = |a-b| 로 정의한 d는 자동으로 거리가 되니까 저 크기가 norm이라는 것만 보이면 됨.
norm의 정의 중 |a+b| ≤ |a| + |b| 를 보이는 게 관건이고 나머지는 증명이 쉬울 거.
이 부등식을 보이기 위해 양변을 제곱해서 정리한 후 R^n 버전 코시 - 슈바르츠 부등식을 사용하면 됨.
R^n 버전 코시 - 슈바르츠 부등식 증명은
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Schwarz_inequality#Rn_(n-dimensional_Euclidean_space)

[뽈펜(ieieiei)]

혹시 실해석 안다면 더 쉽게 민코프스키 부등식으로 증명하면 됨

[익명(211.229)]

민코프스키 부등식 증명도했었고 알고는있는데 저기서 어떻게 쓰는거임? - dc App

[뽈펜(ieieiei)]

민코프스키 부등식의 일반적인 형태에서, 측도공간 (n, n의 멱집합, counting measure), p = 2 인 경우에는
https://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_inequality
의 Proof 전 마지막 식이 됨.
여기서 n = {0, 1, ..., n-1} (0부터 시작하는 게 거슬리면 n = {1, 2, ..., n}이라 생각하면 됨)

[익명(211.229)]

부등식을 sqrt(sumRe(zk-z'k)^2 + sumIm(zk-z'k)^2)으로 풀어서 보여보는중인데 민코프스키를 어떻게 써야함? - dc App

[뽈펜(ieieiei)]

|z-z'|이 거리임을 바로 보이지 말고 |z|가 norm임을 보이는 걸 추천함 혹시 norm이 뭔지 모른다면 그냥 |z+z'| ≤ |z|+|z'|을 민코프스키 부등식을 사용해 먼저 증명하고 이걸 이용해 |z-z''| = |z-z'+z'-z''| ≤ |z-z'| + |z'-z''| 라고 증명하면 됨.

[익명(211.229)]

민코프스키 부등식 형태만보면 |z+z'|<=|z|+|z'|를 못보이는거같은데 어찌함? 몇 번 시도해봐도 적용을 못시키겠음 - dc App

[뽈펜(ieieiei)]

임의의 복소수 z에 대해 |z| = (Re z)^2 + (Im z)^2 이라는 사실이랑
https://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_inequality
의
proof 바로 전 식을 이용하면 될텐데
저 식은 실수뿐만 아니라 복소수에 대해 성립하는 식임

[뽈펜(ieieiei)]

저 식이 실수에 대해서 성립한다는 것까지만 알고 있다면, 그냥 R^(2n)에 대한 식이 C^n에 대한 식과 일치한다는 사실을 이용해서 저 식이 복소수에 대해서도 성립함을 증명하면 됨

[익명(211.229)]

아 시발 모르겠다 여태 시도해봤는데 민코프스키나 코시 부등식 적용을 못시키겠음 - dc App

[익명(211.229)]

아 잠만 보였다 시ㅣ이바 ㄹ - dc App

[익명(210.223)]

야이 삼각부등식을 보이라는데 민코프스키를 쓰라고 하면 어떻게 하냐 정 그렇게 잘난척하고 싶으면 횔더부등식을 가르쳐 줘야지

[뽈펜(ieieiei)]

이게 왜 잘난척임 ㅅㅂ 그리고 횔더 부등식은 왜 나오냐

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

민코프스키의 증명과정에 횔더써서 그런거 아님?

[뽈펜(ieieiei)]

어떤 정리를 사용하기 위해 그 정리의 증명을 다 설명해야 한다고 말하는 건 아닐 거 아냐

[익명(211.229)]

민코프스키는 쓰일법하다고 느낄만한데 횔더는 쓸모없는거같음 - dc App

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

크기를 내적으로 나타내고 코시 슈바르츠

[익명(211.229)]

복소공간의 벡터는 안배웠는데 - dc App

[겨울_(silhouet72)]

R^n에서 하듯이 하면 될텐데