제가 봤을 때 크게 두 가지 개념을 헷갈려하시는 거 같은데

하나는 극한값의 기본성질이고 다른 하나는 미분계수의 정의임.

물론 이 두 개가 동떨어져있는 건 아니고 밀접하게 연결되어 있는 거니깐

어떻게 보면 그냥 한 가지 개념을 헷갈려 하는 거라고 볼 수도 있음.



첫 째, 극한값의 기본 성질.

제 기억이 맞다면 고교 수학 교과서에서는 극한을 설명하면서,

극한값의 기본성질이라는 이름 하에 극한의 사칙연산?에 관한 얘기를 하고 있을 거임.


예컨대 lim (x to a) {(f(x)+g(x)} = lim (x to a) (f(x)) + lim (x to a ) (g(x)) 가 대개 성립함.

단, 교과서에서 반드시 이 얘기를 써뒀을 텐데 x to a 에서 lim (f(x)), lim (g(x)) 가 각각 존재할 때만 성립함.


예를 들어 x to 0 에서 lim 0은 누가 뭐래도 당연히 0이지만,

0= (1/x) + (-1/x) 에 착안해서

lim 0 = lim {(1/x) + (-1/x) } = lim (1/x) + lim (-1/x) 이라고 놓고 보면은 아주 이상한 일이 생긴다는 걸 알 수 있는데

이런 일이 생기는 이유는 x to 0 에서 lim (1/x), lim(-1/x)가 존재하지 않기 때문임.



둘 째, 미분계수의 정의.

역시나 내 기억이 맞다면 고교 수학 교과서에서 미분계수를 정의할 때,

반드시 평균변화율을 먼저 설명하고, 평균변화율의 극한이라는 개념으로 미분계수를 정의할거임.

이렇게 평균변화율의 극한이라는 방식으로 미분계수를 이해할 때 중요한 건 동점이랑 정점이 각각 하나씩 있어야 한다는 거임.


예를 들어 lim (h to 0) [{f(a+h) - f(a)} / h] 는 뭐 당연히 f'(a)인데, 분모 h를 a+h-a라고 놓고 보면

이거는 일단 (a,f(a))와 (a+h, f(a+h)) 사이의 기울기 (=평균변화율)을 써논다음에 걔의 극한값을 구하라는 이야기임.


요지는 정점 하나 (a,f(a))와 동점 하나 (a+h,f(a+h))가 정의되어야 그게 미분계수임.




이제 주어진 문제.


1. 일단 lim (h to 0) {f(1+h)-f(1-h)/2h}는 평균변화율의 극한은 맞음.

그런데 여기에는 정점이 없고 동점만 있음.

저걸 보면 (1+h,f(1+h)), (1-h, f(1-h)) 사이의 평균변화율인데 보다시피 둘 다 움직이는 점이란 말임.


즉, 미분계수의 정의를 만족하고 있지 않고 미분계수가 아님.



2. 그런데 일반적으로는 저런 꼴의 식을 무의식적으로 그냥 기계적으로 프라임붙여서 미분계수로 엿바꿔먹는 경우가 많은데,

대개의 경우 그렇게 해도 문제가 안생김.


이때의 논리는 무엇이냐하면 너가 댓글로 말했듯이,

(f(1)-f(1))/2h를 더하면 f'(1)/2+f'(1)/2가 되는 듯 해보이기 때문임.


그런데 이 경우는 문제가 있음. 문제가 뭐냐면,


lim (h to 0) {f(1+h)-f(1-h)/2h} = lim (h to 0) [{f(1+h)-f(1) + f(1) - f(1-h)}/2h] 로 바꾸는 것까지는 말이 되는데

lim (h to 0) [{f(1+h)-f(1) + f(1) - f(1-h)}/2h] = lim (h to 0) [{f(1+h)-f(1)}/2h] + lim (h to 0) [{f(1) - f(1-h)}/2h] 로 바꾸는 게 말이 안 되기 때문임.

쉽게 말하면 리미트를 이렇게 찢어서 적용할 수가 없음.


앞서 말한 극한값의 기본 성질에 의해서 limit를 이렇게 찢어서 적용하려면 주어진 점에서 각각의 극한값이 정의되어 있어야 함.

그러나 h to 0에서 lim [{f(1+h)-f(1)}/2h] (참고로 이건 f'(1)/2 이 맞음!!) 는 정의되어 있지 않음 (미분이 불가능, f'(1)은 존재하지 않음).

따라서 저런 식으로 노나갖고 f'(1)/2 + f'(1)/2라고 쓰는 것이 극한값의 기본 성질 상 불가능하다는 이야기임.


일반적으로 저렇게 동점 두 개인 경우에도 프라임달고 미분계수처럼 해석해도 되는 이유는,

그 점에서 미분이 가능하니깐 식변형을 통해서 저렇게 미분계수로 궁극적으로 변형이 가능하기 때문임.

그런데 위 문제처럼 그 점에서 미분이 불가능한 경우 저렇게 변형이 되지 않으므로, 프라임을 달게 되면 큰일저지르는게 됨 ㅇ.



결론.

위 문제는 극한값의 기본성질이랑 미분계수의 정의를 제대로 이해하고 있는지를 묻는 문제임.

저 문제에서 막혔다면 그런 부분들 위주로 복습하면 될 듯