수리물리책에서 (스톤?) 바이어슈트라스정리란

닫힌구간에서 정의된 임의의 연속함수를 어떤 다항식 수열로 근사할수있고, 이 수열은 그 연속함수로 균등수렴(→점별수렴, →평균수렴)한다는 정리라고 하는데,
증명과정에서 (1-x^2)^n 이 함수가 이용됩니다.

근데 이 함수는 앞에 규격화계수만 붙이면 n이 무한대일때 디락델타함수가 된다고 합니다.
그리고 다항식 공간의 기저인 {1,x,x^2,...}  에 그람 슈미트 과정을 한게 르장드르 다항식인데, 르장드르 다항식을 나타내는 공식인 로드리게스 공식은 (1-x^2)^n을 n번 미분한 꼴입니다.
이와 유사하게 가우시안함수도 극한취하면 디락델타함수로 만들 수 있고 에르미트다항식도 가우시안함수를 n번미분 한 꼴입니다.

이게 과연 우연일까요?

제가 아는 직교시스템들끼리의 연관성은
1. 스트룸-리우빌 시스템들의 해는 일반적인 로드리게스공식으로 나타 낼 수있다.
2. Residue 적분으로 로드리게스 공식으로부터 Generating function을 구할 수 있다는 것밖에 모릅니다.

이로부터 로드리게스공식에서 d^n/dx^n 안쪽의 식을 잘 변형하면 항상 델타함수가 된다던가? 하는 연관성이 있을까요?
물리학과라 어려운 수학은 모르지만 단순한 상관관계가 뭔가 있을거같아서 찾으려고 노력중입니다. 스택익스체인지에 검색해봐도 답이 안 나와서 여기다 질문글 올립니당...



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