두 다항식이 같다는 건 계수비교법으로 정의가 되어있기 때문에 다항식 x와 x^2은 다르다고 볼 수 있음
그러나 유한체 F_2를 따졌을때 두 다항함수 x와 x^2은 항상 같은 인풋 아웃풋이므로 같은 함수임
따라서 두 다항함수가 같다고 같은 다항식을 가질수는 없다는 결론을 내릴수 있음
윗 사진이 문제고 아래가 해설인데
pth power map이 iso인건 아는데 마치 x를 F_p의 원소로 간주하고 전개해서 같다고 하고있는데
이건 함수의 시각으로 두 함수 f(x)^p와 f(x^p)가 같다는것을 보인거 아님?
다들 어떻게 생각함>?
저 풀이는 단순히 값이 같단 게 아니라 계수들도 완전히 같다는 걸 보이고 있는 거임. 왜냐면 (a+b)^p를 F_p 위에서 전개하면 아예 a^p+b^p가 되니까.
열심히 이항전개하면 같다고 계산할수 있고 그걸 풀이가 말해주고 있는데 무슨 소리하냐
그럼 풀이에 pth power map을 쓴게 아니라 그냥 이항정리로만 풀었다고 보면 되겠다 감사
varphi 가 isomorphism이라는 게 저 식 첫 번째에서 두 번째로 넘어갈 수 있다는 걸 바로 말해주진 않는 거 같긴 한데
서술이 안좋간 한데, 세번째 줄에서 네번째 줄 가는 등호에서 varphi가 iso인걸 쓴거고 첫줄에서 둘째줄은 직접전개로 넘어간거.. 중간에 f는 왜또 p로 바뀌고..
풀이에 iso를 이용하면 문제가 되지않음? 내가말한이유때문에
a_i들은 F_p에 있는 계수니까 상관없지. 예를 들어 (1+1)x라는 다항식을 2x로 고쳐썼다고 해서 다항식으로 둘이 다른 게 아니잖아
아 그소리였음? ㅇㅋㅇㅋ
나도 처음볼 때는 엄청 헷갈렸던 이야긴데, 정수론 페르마 소정리를 사용하면 x^p =x (modp) 인게 나오거든 그런데 계수들 a_i 들은 F_p의 원소니까 (a_i)^{p}=a_i ( in F_p) 가 성립하겠지? 그리고 phi 사상도 준동형 사상이니까 전부 찢어질거 아냐? phi (a_nx^n +...a_1x + a_0) = phi (a_n)phi(x)+...phi(a_1)phi(x)+phi(a_0)=(a_n)^{p}(x^n)^{p}+...(a_1)^{p}x^{p}+(a_0)^{p} =a_{n}x^{p}^{n}+...+a_0 (정수론과 지수법칙) 즉 phi f(x) = f(phi(x)) 와 같다고 볼 수 있는거지. 합성함수는 아니지만 모양의 형태가 합성함수 교환된 것 처럼 생긴 재밌는 녀석이야.
더 자세한 내용은 Frobenius 동형사상(프로베니우스 사상)을 검색했으면해. 유한체에서 유한체로 가는 동형사상 하나 하나를 원소로하는 갈루아군은 순환군이 되는데 이 프로베니우스 사상이 순환군의 생성원이되나 그래. 그러니까 Gal(F_p^n/F_p)=<phi>이 될꺼야 아마.