c(s)가 호의 길이로 매개화 된 R2상의 원점 한바퀴 감는 길이 L인 단일폐곡선이면

signed curvature k(s)에 대해서 integral 0~L k(s) ds = 2pi 나온다 이런걸 봤거든 (대충 winding number 머시기)


근데 c(s)가 R3의 곡선이면 k(s)가 위에서 정의랑 다르잖아

(R2에서는 N이 그냥 T를 반시계 90도 돌린거고 k=＜T',N＞이어서 음수도 나올 수 있는데 R3에서는 T'=kN으로 k랑 N이 정해지고 k는 항상 0 이상)

이때 c(s)를 공간곡선으로 보는데 xy평면 위에서 똑같이 원점 한바퀴 감는 길이 L인 단일폐곡선이면

공간곡선의 곡률 k를 비슷하게 integral 0~L k(s)ds 계산해도 2pi가 나오는거 맞음??


k가 양수음수 부호 바뀌고 안바뀌고 때문에 적분결과가 달라야 할 것 같은데

R3의 경우에서도 c와 c내부로 둘러싸인 영역에서 Gauss-Bonnet 생각하면 2pi 나오는게 맞는것같고