오늘 아침에는 상계와 하계에 대하여 공부하였습니다.
제 풀이에 틀린 부분이 있나요?
공집합이 아니고 모든 실수들의 집합의 부분집합인 임의의 A에 대하여 A가 상계를 하나라도 가진다면 sup A가 존재할 때, 공집합이 아니고 모든 실수들의 집합의 부분집합인 임의의 B에 대하여 B가 하계를 하나라도 가진다면 inf B가 존재함을 증명하시오:
B의 하계의 집합은 B의 원소를 상계로 가지므로 B의 하계의 최소상계가 존재한다. 이것을 a라 하면 B의 임의의 원소 x에 대하여 x =< a이므로 B의 하계의 최댓값은 B의 하계의 최소상계로 존재한다.
제 풀이에 틀린 부분이 있나요?
공집합이 아니고 모든 실수들의 집합의 부분집합인 임의의 A에 대하여 A가 상계를 하나라도 가진다면 sup A가 존재할 때, 공집합이 아니고 모든 실수들의 집합의 부분집합인 임의의 B에 대하여 B가 하계를 하나라도 가진다면 inf B가 존재함을 증명하시오:
B의 하계의 집합은 B의 원소를 상계로 가지므로 B의 하계의 최소상계가 존재한다. 이것을 a라 하면 B의 임의의 원소 x에 대하여 x =< a이므로 B의 하계의 최댓값은 B의 하계의 최소상계로 존재한다.
- 희망의 등불
틀린 부분이 있어요. 답을 끝까지 안 적었어요.
충고, 감사합니다. - 훈다리 훈다리
하계의 집합의 최소상계를 최대하계라고 한건데 최대란건 잡는 과정상 분명하지만 걔가 다시 하계가 되리란 보장이 빠져있음.. 그렇게 풀수는 있는데 더 간단한 풀이가 있으니 고민해보셈
B의 하계의 최댓값이고 보통은 걍 방향 바꿔서 증명하지 않나..
설마 -붙이는 거요? - 훈다리 훈다리
ㅇㅇ
위에 있는 애들 말 듣지마. 적은 가정으로 증명할 수 있으면 그게 더 좋을 거야. 'R은 nonempty subset의 supremum이 존재하는 ordered set'이라는 가정만으로 풀 수 있어. 근본적으로 니 풀이가 우월하다.
감사합니다. 저도 - 붙이는 건 보자마자 생각했는데 너무 비겁한 풀이라서 그렇지 않는 풀이를 고민해봤어요. - 훈다리 훈다리
머 그럴거면 ns님 말대로 하계의 최소상계가 하계인걸 보여야함 sup은 '최댓값'이 아니라 '최소상계'니깐
"B의 원소 b가 존재하여 sup(B↓) < b이면 모순이다."라는 말을 추가하면 될까요? - 훈다리 훈다리