[일반] 참이지만 증명불가능한 명제가 있나요?

[익명(175.223)]

참이고,거짓이 아니지만,증명은 불가능한 명제가 존재하나요?

- dc official App

[기괴공학도(mecheng98)]

리버보이님께서 나타나실 때가 되었는데 - dc App

[기괴공학도(mecheng98)]

무엇인지 알아보자 시리즈 이번 회에서 괴델의 불완전성 정리를 다룰거니까 리버보이님 글 쓰실 때까지 기다리거나 괴델의 불완전성 정리 검색해보셈. - dc App

[익명(222.104)]

아뇨 없습니다

[익명(222.104)]

"증명 가능하다"와 "참이다"는 동등하니까 증명 불가능하면 거짓입니다

[겨울_(silhouet72)]

참이여도 증명 못하는 명제는 존재하는데

[익명(112.149)]

Peano 공리계를 예를 들면, 그 공리계에서 참이고 증명 불가능한 명제는 존재함. 이건 Cn(PA)가 complete theory가 아님에서 바로 알 수 있음. 여기서 이론 T가 완전하다는 것은 모든 문장 s에 대해 sㅌT와 ㄱsㅌT 중 하나만이 참을 의미함. 즉 완전하지 않다는 것은 어떤 문장 a에 대해 not aㅌT이고 not ㄱaㅌT를 뜻하는 거지

[익명(14.37)]

존재함

[익명(112.149)]

물론 이건 T가 일관적일때에만,즉 aㅌT이고 ㄱaㅌT인 a가 존재하지 않을때에만 성립함. Peano 공리계는 일관적이고 완전하지 않으니 이 공리계는 위에서 설명했던 것처럼 어떤 a에 대해 a하고 a의 부정인 ㄱa도 포함하지 않음. 근데 술어논리에서는 모든 진리함수에 대한 range가 { T,F }이기 때문에 a와 ㄱa 중 하나는 T의 값을 가짐.

[익명(112.149)]

그러니까 T의 값을 가지는데 peano에서는 연역하지 못하는 명제는 존재함.

[뽈펜(ieieiei)]

참이라는 게 뭐지 공리계에서 증명 되는 게 참 아니었나